1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第4讲 数列求和概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n2112(1n1 1n1)()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)若数列 a1，a2a1，anan1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 分组转化法求和解(1)由题设可得
2、f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.对任意 nN*，f2 anan1an2an10，即 an1anan2an1，故an为等差数列由 a12，a2a48，解得an的公差 d1，所以 an21(n1)n1.例 1设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x 满足 f2 0.(1)求数列an 的通项公式；(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.结束放映返回目录第4页 考点突破例 1设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos
3、 xan2sin x 满足 f2 0.(1)求数列an 的通项公式；(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.(2)因为 bn2an 12an2n1 12n1 2n 12n2，所以 Snb1b2bn(222)2(12n)12 12212n2n2n（n1）212112n112n23n1 12n.等差数列等比数列考点一 分组转化法求和结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法常见可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数
4、和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式考点一 分组转化法求和结束放映返回目录第6页【训练 1】(2014山东卷)在等差数列an中，已知公差 d2，a2是a1 与 a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn,记 Tnb1b2b3b4(1)nbn,求 Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12，所以数列an的通项公式为 an2n.(2)由题意知 bnn(n1)所以 Tn122334(1)nn(n1)因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)相邻两项的差是等差数列考点一 分组
5、转化法求和考点突破结束放映返回目录第7页【训练 1】(2014山东卷)在等差数列an中，已知公差 d2，a2是a1 与 a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn,记 Tnb1b2b3b4(1)nbn,求 Tn.48122n n2（42n）2n（n2）2.当 n 为奇数时，TnTn1(bn)（n1）（n1）2n(n1)（n1）22所以 Tn（n1）22，n为奇数，n（n2）2，n为偶数.利用n是偶数时的结论考点一 分组转化法求和考点突破结束放映返回目录第8页【例题 2】(2014新课标全国卷)已知an是递增的等差数列，a2，a4 是方程 x25x60 的根(1)求an的通项公式
6、；(2)求数列an2n 的前 n 项和考点二 错位相减法求和解(1)方程 x25x60 的两根为 2，3，由题意得 a22，a43.设数列an的公差为 d，则 a4a22d，故 d12，从而 a132.所以an的通项公式为 an12n1.考点突破结束放映返回目录第9页【例题 2】(2014新课标全国卷)已知an是递增的等差数列，a2，a4 是方程 x25x60 的根(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n 的前 n 项和考点二 错位相减法求和(2)设an2n 的前 n 项和为 Sn，由(1)知an2nn22n1，则 Sn 322 423n12n n22n1，12Sn 323 424n12n
7、1 n22n2.两式相减得12Sn34123 12n1 n22n234141 12n1 n22n2.所以 Sn2n42n1.考点突破结束放映返回目录第10页 考点突破规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式考点二 错位相减法求和结束放映返回目录第11页 考点突破(1)证明 由已知可得 an1n1ann 1，训练 2(2014安徽卷)数列an满足 a11，nan
8、1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann 是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.即 an1n1ann1.所以ann 是以a11 1 为首项，1 为公差的等差数列(2)解 由(1)得ann 1(n1)1n，所以 ann2.Sn131232333n3n，从而 bnn3n.考点二 错位相减法求和3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1（12n）3n132.所以 Sn（2n1）3n134.3（13n）13n3n1结束放映返回目录第12页 考点突破考点三 裂项相消法求和例3(2014广东卷)设各项均为正数的数列an的前n项和为S
9、n，且 Sn 满足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1（a11）1a2（a21）1an（an1）13.(1)解S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，令 n1，得 a21a160，解得 a12 或 a13.又 an0，a12.(2)解 由 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn3)0，又 an0，所以 Sn30，所以 Snn2n，所以当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2n12n，又由(1)知，a12，符合上式，所以 an2n(nN*)结束放映返回目录第13页 考点突破
10、考点三 裂项相消法求和例3(2014广东卷)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且 Sn 满足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1（a11）1a2（a21）1an（an1）13.(3)证明由(2)知，1an（an1）12n（2n1），所以1a1（a11）1a2（a21）1an（an1）123 14512n（2n1）123 135 1571（2n1）（2n1）16121315 1517 12n112n1 16121312n1 16121313.结束放映返回目录第14页 考点突破规律方法利用裂
11、项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式列项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。考点三 裂项相消法求和结束放映返回目录第15页 考点突破(1)解析 由题得3a13da16d，（a17d）2（a12d）3，训练 3(2014重庆模拟)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，已知 S3a7，a82a33.(1)求 an；(2)设 bn 1Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn34 1n1(nN*)设数列an的公差为 d，解得 a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)证明 由(
12、1)得 Snna1n（n1）2dn(n2)，bn1n（n2）121n 1n2.Tnb1b2bn1bn考点三 裂项相消法求和结束放映返回目录第16页 考点突破12113 1214 1n1 1n1 1n 1n2训练 3(2014重庆模拟)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，已知 S3a7，a82a33.(1)求 an；(2)设 bn 1Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn34 1n1(nN*)12112 1n1 1n2，Tn12112 1n1 1n2 12112 1n1 1n134 1n1.考点三 裂项相消法求和故 Tn34 1n1.结束放映返回目录第17页 思想方法课堂小结非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和结束放映返回目录第18页 易错防范课堂小结1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3在利用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项。结束放映返回目录第19页（见教辅）
