1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1.2空间向量的数量积运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下列各命题中,正确的有()A.aa=|a|B.m(a)b=(m)ab(m,R)C.a(b+c)=(b+c)aD.a2b=b2a解析aa=|a|2,故aa=|a|,A正确;m(a)b=(ma)b=mab=(m)ab,故B正确;a(b+c)=ab+ac=ba+ca=(b+c)a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.答案ABC2.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()
2、A.-6B.6C.3D.-3解析由题意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,2k-12=0,k=6.答案B3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则ab=()A.1B.2C.3D.4解析由条件知pq=0,p2=q2=1,所以ab=(3p-2q)(p+q)=3p2-2q2+pq=1.答案A4.已知|a|=1,|b|=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.30B.45C.135D.60解析a-b与a垂直,(a-b)a=0,aa-ab=|a|2-|a|b|cos=1-12cos=0,cos=22.0180,=45
3、.答案B5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)(AB-AC)=(AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以|AB|=|AC|,因此ABC是等腰三角形.答案B6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.PC与ADB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD解析因为PA平面ABC
4、D,所以PACD,故PACD=0;因为ADAB,ADPA,且PAAB=A,所以AD平面PAB,故ADPB,则DAPB=0;同理可得PDAB=0;而PC与AD所成角为PCB,显然不垂直.答案BCD7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=.解析|a|=4,|b|=6,|c|=2,且=3,|a+b+c|2=(a+b+c)(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos+2|a|c|cos+2|b|c|cos=42+62+22+46+42+62=100,|a+b+c|=
5、10.答案108.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,D=60,PA平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为PC=PA+AD+DC,所以|PC|2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PAAD+2PADC+2ADDC=62+42+32+2|AD|DC|cos120=61-12=49,所以|PC|=7,即PC=7.关键能力提升练9.若空间向量a与b不共线,ab0,且c=a-aaabb0,则向量a与c的夹角为()A.0B.6C.3D.2解析ac=aa-aaabb=aa-aaabab=0,ac.故选D.答案D10.已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,则a=e
6、1+e2与b=e1-2e2的夹角是()A.60B.120C.30D.90解析由题意得ab=(e1+e2)(e1-2e2)=e12-e1e2-2e22=1-1112-2=-32,|a|=a2=(e1+e2)2=e12+2e1e2+e22=1+1+1=3,|b|=b2=(e1-2e2)2=e12-4e1e2+4e22=1-2+4=3.cos=ab|a|b|=-323=-12.=120.答案B11.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论正确的有()A.(ab)c-(ca)b=0B.|a|-|b|a-b|C.(ba)c-(ca)b不与c垂直D.(3a+2b)(3a-2b)
7、=9|a|2-4|b|2解析根据空间向量数量积的定义及性质,可知ab和ca是实数,而c与b不共线,故(ab)c与(ca)b一定不相等,故A错误;因为(ba)c-(ca)bc=(ba)c2-(ca)(bc),所以当ab,且ac或bc时,(ba)c-(ca)bc=0,即(ba)c-(ca)b与c垂直,故C错误;易知BD正确.故选BD.答案BD12.已知向量a,b,c两两夹角都是60,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=.解析因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4ab-4bc+2ac=1+4+1-4cos60-4cos60+2cos60=3,所以|a-2b+c|=3.答案313
8、.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1,A1AB=A1AD=BAD=60,则点B与点D1之间的距离为.解析在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BD1=BA+AD+DD1,|BD1|2=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BAAD+2BADD1+2ADDD1=1+1+1+211cos120+211cos120+211cos60=2,|BD1|=2.点B与点D1两点间的距离为2.答案214.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN的长.解MN=MB+BC+CN=23AB+(AC-AB)+13(AD-A
9、C)=-13AB+13AD+23AC,|MN|2=-13AB+13AD+23AC2=19|AB|2+19|AD|2+49|AC|2-29ABAD-49ABAC+49ADAC=69a2-29a2cos60-49a2cos60+49a2cos60=59a2,故|MN|=|MN|2=53a,即MN=53a.15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求A1C1与DE所成角的余弦值.解设正方体的棱长为1,AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ca=0.A1C1=AC=AB+AD=a+b,DE=DD1+D1E=DD1+12D1C1=c+
10、12a,A1C1DE=(a+b)c+12a=ac+bc+12a2+12ab=12a2=12.又|A1C1|=2,|DE|=1+122=52,cos=A1C1DE|A1C1|DE|=12252=1010,A1C1与DE所成角的余弦值为1010.学科素养创新练16.如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明设CA=a,CB=b,CC=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且ab=bc=ca=0.CE=b+12c,AD=-c+12b-12a,CEAD=b+12c-c+12b-12a=-12c2+12b2=0,CEAD,即CEAD.(2)解AC=-a+c,|AC|=2|a|,|CE|=52|a|,ACCE=(-a+c)b+12c=12c2=12|a|2,cos=12|a|2252|a|2=1010.异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.- 5 - 版权所有高考资源网
