1、专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1. 若f(cosx)cos2x,则f(sin15)()A. B C D.答案C解析f(sin15)f(cos75)cos150cos30.2点P从(2,0)点出发,沿圆x2y24按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为()A(1,) B(,1)C(1,) D(,1)答案A解析弧长所对的圆心角为,设点Q的坐标为(x,y),x2cos1,y2sin,故选A.3已知集合A(x,y)|ysinx,集合B(x,y)|ytanx,则AB()A(0,0)B(,0),(0,0)C(x,y)|xk,y0,kZD答案C解析令sinxtanx,解得xk,k
2、Z,则y0.故函数ysinx与ytanx图象的交点坐标为(k,0),kZ.4有四个关于三角函数的命题:p1:xR,sin2cos2;p2:x、yR,sin(xy)sinxsiny;p3:x, sinx;p4:sinxcosyxy.其中是假命题的是()Ap1,p4 Bp2,p4 Cp1,p3 Dp3,p4答案A解析p1是假命题,xR,sin2cos21;p2是真命题,如xy0时成立;p3是真命题,x,sinx0, |sinx|sinx;p4是假命题,x,y2时,sinxcosy,但xy.故选A.5ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,向量p(1,),q(cosB,sinB),pq且bco
3、sCccosB2asinA,则C()A30 B60 C120 D150答案A解析pq,cosBsinB,即得tanB,B120,bcosCccosB2asinA,由正弦定理得sinBcosCsinCcosB2sin2A,即sinAsin(BC)2sin2A,sinA0得sinA,A30,C180AB30,故应选A.6已知x(0,关于x的方程2sina有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为()A B,2C(,2 D(,2)答案D解析 可数形结合解答,如图,在直角坐标系内作出函数y2sin在区间(0,的图象,使得直线ya与图象有两个交点时,易知a0)的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差
4、数列,要得到函数g(x)Acosx的图象,只需将f(x)的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案A解析由题意,可得函数的周期为,故,2.要得到函数g(x)Acos2xAsin的图象,只需将f(x)Asin的图象向左平移个单位即可,故选A.8已知函数f(x)则函数g(x)sin的一个单调递增区间为()A. B. C. D.答案A解析fffcos,g(x)sinsincos2x,令2k2x2k,求得kxk,可得g(x)的增区间为,kZ,令k0,可得增区间为,故选A.9已知函数f(x)asinxcosx关于直线x对称,且f(x1)f(x2)4,则|x1x2|
5、的最小值为()A. B. C. D.答案D解析f(x)asinxcosx,f(x)asinxcosxsin(x),函数f(x)asinxcosx关于直线x对称,k,即k,kZ,故可取,故tan,a1,即f(x)2sin.f(x1)f(x2)4,故可令f(x1)2,f(x2)2,x12k1,x22k2,即x12k1,x22k2,其中k1,k2Z,|x1x2|min,故选D.10若函数f(x)2sin(2x10)的图象与x轴交于点A,过点A的直线l与函数的图象交于B,C两点,则()()A16 B16 C32 D32答案C解析令f(x)2sin0,得xk,即x6k2(kZ)又因为2x0,b0)的右焦
6、点为F,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别相交于点A,B,连接AF,BF.若|AF|6,|BF|8,cosBAF,则该双曲线的离心率为_答案5解析因为|AF|6,|BF|8,cosBAF,由余弦定理得cosBAF,解得|AB|10(舍去负值),则|AF|2|BF|2|AB|2,故BFA90.设双曲线另一焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为矩形,所以2c|AB|10,再由双曲线定义,得2a862,所以离心率e5.16ABC的内角为A,B,C,点M为ABC的重心,如果sinAsinBsinC0,则内角A的大小为_答案解析因为点M为ABC重心,故0,即,因为sinAsinBsinC
7、0,即abc0,所以a()bc(ab)0,所以故abc111,可令a1,b1,c,由余弦定理可得cosA,所以A.三、解答题17已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)m(mR),将yf(x)的图象向左平移个单位长度后得到yg(x)的图象,且yg(x)在区间内的最大值为.(1)求实数m的值;(2)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若g1,且ac2,求ABC的周长l的取值范围解(1)由题设得f(x)sin2xcos2x1msin1m.所以g(x)sin1msin1m.因为当x时,2x.令2x,即x时,g(x)maxm1,所以m1.(2)由已知得gsin1.因为在ABC中,0
8、B,所以0B,所以B,所以B,即B.又因为ac2,由余弦定理,得b2a2c22accosBa2c2ac(ac)23ac(ac)21,当且仅当ac1时等号成立又因为bac2,所以1b2,所以ABC的周长labc在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知函数f(x)sin(2xB)cos(2xB)为偶函数,bf.(1)求b;(2)若a3,求ABC的面积S.解(1)f(x)sin(2xB)cos(2xB)2sin,由f(x)为偶函数可知Bk,kZ,所以Bk,kZ.又0B,故B,所以f(x)2sin2cos2x,bf.(2)因为B,b,由正弦定理可得sinA,所以A或.当A时,ABC
9、的面积S;当A时,ABC的面积S.19在公比为2的等比数列an中,a2与a5的等差中项是9.(1)求a1的值;(2)若函数y|a1|sin,|的一部分图象如图所示,M(1,|a1|),N(3,|a1|)为图象上的两点,设MPN,其中点P与原点O重合,0,求tan()的值解(1)由题可知a2a518.又a58a2,故a22,a1.(2)点M(1,|a1|)在函数y|a1|sin的图象上,sin1.又|,.如图,连接MN,在MPN中,由余弦定理,得cos.又0,tan()tantan2.20在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知m(sinC,b2a2c2),n(2sinAsinC,c2a2b2)且mn.(1)求角B的大小;(2)设Tsin2Asin2Bsin2C,求T的取值范围解(1)由mn得,因为sinC0,所以sinBcosC2sinAcosBsinCcosB,所以2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA,因为sinA0,所以cosB,因为0B,所以B.(2)Tsin2Asin2Bsin2C(1cos2A)(1cos2C)(cos2Acos2C)cos因为0A,所以02A,故2A,因此1cos,所以T.