1、专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1. 若f(cosx)cos2x，则f(sin15)()A. B C D.答案C解析f(sin15)f(cos75)cos150cos30.2点P从(2,0)点出发，沿圆x2y24按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A(1，) B(，1)C(1，) D(，1)答案A解析弧长所对的圆心角为，设点Q的坐标为(x，y)，x2cos1，y2sin，故选A.3已知集合A(x，y)|ysinx，集合B(x，y)|ytanx，则AB()A(0,0)B(，0)，(0,0)C(x，y)|xk，y0，kZD答案C解析令sinxtanx，解得xk，k
2、Z，则y0.故函数ysinx与ytanx图象的交点坐标为(k，0)，kZ.4有四个关于三角函数的命题：p1：xR，sin2cos2；p2：x、yR，sin(xy)sinxsiny；p3：x, sinx；p4：sinxcosyxy.其中是假命题的是()Ap1，p4 Bp2，p4 Cp1，p3 Dp3，p4答案A解析p1是假命题，xR，sin2cos21；p2是真命题，如xy0时成立；p3是真命题，x，sinx0， |sinx|sinx；p4是假命题，x，y2时，sinxcosy，但xy.故选A.5ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p(1，)，q(cosB，sinB)，pq且bco
3、sCccosB2asinA，则C()A30 B60 C120 D150答案A解析pq，cosBsinB，即得tanB，B120，bcosCccosB2asinA，由正弦定理得sinBcosCsinCcosB2sin2A，即sinAsin(BC)2sin2A，sinA0得sinA，A30，C180AB30，故应选A.6已知x(0，关于x的方程2sina有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为()A B，2C(，2 D(，2)答案D解析 可数形结合解答，如图，在直角坐标系内作出函数y2sin在区间(0，的图象，使得直线ya与图象有两个交点时，易知a0)的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差
4、数列，要得到函数g(x)Acosx的图象，只需将f(x)的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案A解析由题意，可得函数的周期为，故，2.要得到函数g(x)Acos2xAsin的图象，只需将f(x)Asin的图象向左平移个单位即可，故选A.8已知函数f(x)则函数g(x)sin的一个单调递增区间为()A. B. C. D.答案A解析fffcos，g(x)sinsincos2x，令2k2x2k，求得kxk，可得g(x)的增区间为，kZ，令k0，可得增区间为，故选A.9已知函数f(x)asinxcosx关于直线x对称，且f(x1)f(x2)4，则|x1x2|
5、的最小值为()A. B. C. D.答案D解析f(x)asinxcosx，f(x)asinxcosxsin(x)，函数f(x)asinxcosx关于直线x对称，k，即k，kZ，故可取，故tan，a1，即f(x)2sin.f(x1)f(x2)4，故可令f(x1)2，f(x2)2，x12k1，x22k2，即x12k1，x22k2，其中k1，k2Z，|x1x2|min，故选D.10若函数f(x)2sin(2x10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则()()A16 B16 C32 D32答案C解析令f(x)2sin0，得xk，即x6k2(kZ)又因为2x0，b0)的右焦
6、点为F，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，连接AF，BF.若|AF|6，|BF|8，cosBAF，则该双曲线的离心率为_答案5解析因为|AF|6，|BF|8，cosBAF，由余弦定理得cosBAF，解得|AB|10(舍去负值)，则|AF|2|BF|2|AB|2，故BFA90.设双曲线另一焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为矩形，所以2c|AB|10，再由双曲线定义，得2a862，所以离心率e5.16ABC的内角为A，B，C，点M为ABC的重心，如果sinAsinBsinC0，则内角A的大小为_答案解析因为点M为ABC重心，故0，即，因为sinAsinBsinC
7、0，即abc0，所以a()bc(ab)0，所以故abc111，可令a1，b1，c，由余弦定理可得cosA，所以A.三、解答题17已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)m(mR)，将yf(x)的图象向左平移个单位长度后得到yg(x)的图象，且yg(x)在区间内的最大值为.(1)求实数m的值；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若g1，且ac2，求ABC的周长l的取值范围解(1)由题设得f(x)sin2xcos2x1msin1m.所以g(x)sin1msin1m.因为当x时，2x.令2x，即x时，g(x)maxm1，所以m1.(2)由已知得gsin1.因为在ABC中，0
8、B，所以0B，所以B，所以B，即B.又因为ac2，由余弦定理，得b2a2c22accosBa2c2ac(ac)23ac(ac)21，当且仅当ac1时等号成立又因为bac2，所以1b2，所以ABC的周长labc在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知函数f(x)sin(2xB)cos(2xB)为偶函数，bf.(1)求b；(2)若a3，求ABC的面积S.解(1)f(x)sin(2xB)cos(2xB)2sin，由f(x)为偶函数可知Bk，kZ，所以Bk，kZ.又0B，故B，所以f(x)2sin2cos2x，bf.(2)因为B，b，由正弦定理可得sinA，所以A或.当A时，ABC
9、的面积S；当A时，ABC的面积S.19在公比为2的等比数列an中，a2与a5的等差中项是9.(1)求a1的值；(2)若函数y|a1|sin，|的一部分图象如图所示，M(1，|a1|)，N(3，|a1|)为图象上的两点，设MPN，其中点P与原点O重合，0，求tan()的值解(1)由题可知a2a518.又a58a2，故a22，a1.(2)点M(1，|a1|)在函数y|a1|sin的图象上，sin1.又|，.如图，连接MN，在MPN中，由余弦定理，得cos.又0，tan()tantan2.20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m(sinC，b2a2c2)，n(2sinAsinC，c2a2b2)且mn.(1)求角B的大小；(2)设Tsin2Asin2Bsin2C，求T的取值范围解(1)由mn得，因为sinC0，所以sinBcosC2sinAcosBsinCcosB，所以2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA，因为sinA0，所以cosB，因为0B，所以B.(2)Tsin2Asin2Bsin2C(1cos2A)(1cos2C)(cos2Acos2C)cos因为0A，所以02A，故2A，因此1cos，所以T.