1、第3课时 参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程的常见方法(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去1方程xt21，yt21(t 为参数)表示的曲线是()A抛物线 B直线 C射线 D线段【答案】C【解析】消去参数t得xy20，xt211，所以表示的是一条射线2方程xsin，ycos 2(为参数)所表示的曲线上的一个点的坐标是()A(2，7)B(1,1)C12，12D12，12【答案】C【解析】将参数方程化为普通方程得y12x2，x1，1，代入验证得C满足3.(2018 年桂林
2、期中)在平面直角坐标系中，曲线 C：(t 为参数)的普通方程为 .4设yt1，t为参数，把曲线的普通方程y2x2y10化为参数方程【解析】将 yt1 代入 y2x2y10 得(t1)2x2(t1)10，解得 xt2，所求参数方程为xt2，yt1(t 为参数)【例 1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)x3cos，y3sin 02；(2)x13t，y4t(t 为参数)【解题探究】正余弦一般都利用sin2cos21消参将参数方程化为普通方程【解析】(1)x3cos，y3sin，两式平方相加，得x2y29，又 02，0cos 1，即 0 x3，0sin 1，即 0y3.曲线
3、是以原点为圆心，3 为半径的圆的14部分(2)x13t，y4t，由 ty4代入 x13t，得 x13y44x3y40它表示过0，43 和(1,0)的一条直线一定要注意参数的范围，要在消参后使变量的范围不发生改变1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1)x112t，y2 32 t(t 为参数)；(2)x1t2，y2t(t 为参数)【解析】(1)由 x112t，得 t2x2所以 y2 32(2x2)，即 3xy2 30，此方程表示直线(2)由 y2t，得 ty2所以 x1(y2)2，即(y2)2x1，此方程表示抛物线【例2】将普通方程4x2y216x120化为参数方程【解题探究】
4、可先观察方程特点，再选择参数将普通方程化为参数方程【解析】解法一：原方程可化为 x2y244x30，即(x2)2y24 1，令 x2cos，y2sin，则参数方程为x2cos，y2sin(02)解法二：在曲线上取一点(1,0)，设过此点的直线方程为 yk(x1)，将 yk(x1)代入已知方程得(x1)(4k2)x(12k2)0，当 x1 时，x12k24k2，将其代入 yk(x1)中得 y 8k4k2又因为(1,0)点也在曲线上，所以所求的参数方程是x12k24k2，y 8k4k2(k 为参数，kR)和x1，y0.解法一是根据方程的特征选择参数，称为直接法；解法二是给出x，y，k的关系式，代入
5、方程将x，y分别用k表示出来，称为间接法解法一明显简单很多2选取适当参数，把直线方程y2x3化为参数方程【解析】选 tx，则 y2t3，由此得直线的参数方程xt，y2t3(t 为参数，tR)也可选 tx1，则 y2t1，参数方程为xt1，y2t1(t 为参数)答案不唯一【例 3】已知曲线 C1：xcos，ysin(为参数)，曲线 C2：x 22 t 2，y 22 t(t 为参数)参数方程与普通方程的互化(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2.写出C1，C2的参数方程C1，C2公共点的个数和C1
6、与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由【解题探究】可以通过消参数，求得曲线的普通方程判断并由参数方程进行图象的变换，得到曲线C1，C2，再将其方程化为普通方程解方程组判断其交点的个数【解析】(1)C1 是圆，C2 是直线C1 的普通方程为 x2y21，圆心 C1(0,0)，半径 r1C2 的普通方程为 xy 20因为圆心 C1 到直线 xy 20 的距离为 1，所以 C2 与 C1 只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为 C1：xcos，y12sin(为参数)；C2：x 22 t 2，y 24 t(t 为参数)化为普通方程为 C1：x24y21，C2：y12x 22，联立消元得 2x22
7、 2x10，其判别式(2 2)24210，所以压缩后的直线 C2 与椭圆 C1 仍然只有一个公共点，和 C1 与 C2 公共点个数相同本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好3在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 2 3sin(1)写出 C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，求点 P 到圆心 C 的最小距离【解析】(1)由 2 3sin，得 22 3sin，x2y2
8、2 3y圆 C 的直角坐标方程为 x2(y 3)23(2)直线 l 的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)，t2x3，t2 33 y，即直线 l 的方程为 y 3x3 3点 P 到圆心 C 的最小距离就是圆心到直线的距离，点 P 到圆心 C 的最小距离为 d|0 33 3|3212 2 3【解析】(1)由 2 3sin，得 22 3sin，x2y22 3y圆 C 的直角坐标方程为 x2(y 3)231参数方程化为普通方程的过程就是消参过程2化参数方程为普通方程为F(x，y)0，在消参过程中注意变量x，y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域，从而得x，y的取值范围3常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一已知点的直线，并明确各参数所表示的含义在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答
