1、章末归纳整合解排列组合应用题时,应注意以下几点:合理分类,准确分步;特殊优先,一般在后;直接排除,灵活选择;集团捆绑,间隔插空;繁琐问题,递推策略;复杂问题,构造模型排列与组合的解法灵活多变,选择适当的思想方法,能使一些看似复杂的问题迎刃而解计数问题中的思想方法【例1】从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样的不同三位数共有_个(用数字作答)解:分三类,没有数字 1 和 3 时,有 A34个;只有 1 和 3 中的一个时,有 2A24个;同时有 1 和 3 时,把 3 排
2、在 1 的前面,再从其余 4 个数字中选 1 个数字插入 3 个空当中的一个即可,有 C14C13个所以满足条件的三位数共有 A342A24C14C1360 个方法点评:解答中“没有数字1和3”的这一类容易被遗漏,对于每一类还要注意分步要掌握一些常见题型的解题技能1某单位有三个科室,为实现减负增效,每科室抽调2人去参加再就业培训,培训后这6人中有2人返回原单位,但不回到原科室工作且每科室至多安排1人,问共有多少种不同的安排方法?【解析】6 人中有 2 人返回原单位,可分两类,(1)2 人来自同科室:C13C126 种;(2)2 人来自不同科室:C23C12C12,然后 2 人分别到科室,但不回
3、原科室有 3 种方法,故有 C23C12C12336(种),由加法原理,共有 63642 种方法【例2】停车场一排有12个空位,如今要停放7辆不同的车,要求恰好有4个空位连在一起,求共有多少种停法?解:将 4 个连在一起的空位看成一个整体,由于另一个空位不能与这个整体相连,则可把这两个元素插在 7 辆车之间,共有 A28种方法;而 7 辆车共有 A77种排法,因此共有 A28A77282 240 种不同停法方法点评:“相邻问题”又叫“集团问题”,采用“捆绑法”,即先将几个相邻元素看作一个整体,将此整体与其他元素进行排列,然后整体内部全排列2如图所示,某城市M,N两地间有4条东西街道和6条南北街
4、道若规定只能向东或向北沿图中路线行走,则从M到N有_种不同的走法(用数字作答)【答案】56【解析】从 M 点走到 N 点,每次只能向北或向东走,则不论从 M 到 N 怎样走,都必须向北走 3 次,向东走 5 次,共走 8次,每一次是向北还是向东,就决定了不同的走法,当把向北的步骤决定后,剩下的步骤只能向东,共有 C3856 种不同的走法求二项式的展开式中的特定项时,一般先写出其通项公式,然后由条件确定该特定项的系数求展开式中各项系数的和或差时,常用赋值法二项式的展开问题【例3】求在(12x3x2)6的展开式中x5项的系数解:(12x3x2)6(13x)6(1x)6,其中(13x)6 的展开式的
5、通项为 Tk1Ck63kxk(k0,1,6),(1x)6 的展开式的通项为 Tr1Cr6(1)rxr(r0,1,2,6),故原式(13x)6(1x)6展开式的通项为 Ck63kCr6(1)rxkr,现要使 kr5,又 k0,1,2,6,r0,1,2,6,有k0,r5或k1,r4或k2,r3或k3,r2或k4,r1或k5,r0.故 x5 的系数为 C0630C56(1)5C1631C46(1)4C2632C36(1)3C3633C26(1)2C4634C16(1)C5635C06(1)0168.方法点评:通过对 12x3x2 进行因式分解,把三项式转化为两个二项式的积,将两部分看成两个整体使问题
6、得以解决3若二项式x22xn 的展开式中的二项式系数和为 64,则展开式中的常数项为()A240B160C160D240【答案】D【解析】由已知得到 2n64,所以 n6.所以展开式的通项为 Tr1Cr6(x2)6r2xr(2)rCr6x123r,令 123r0,得到 r4,所以展开式的常数项为 T5(2)4C46240.从近几年高考信息统计可以看出,排列组合与二项式定理是高考的必考知识点之一,考查时题型以填空题为主,排列组合与统计概率结合在解答题出现1.(2020 年新课标)xy2x(xy)5的展开式中 x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20【答案】C【解析】xyx2(xy)5x
7、(xy)5y2xxy 5.(xy)5 的通项展开式为 Tr1Cr5x5ryr.令 r3,则 T4C35x2y3;令 r1,则T2C15x4y.xT4y2xT2C35x3y3C15x3y3(C35C15)x3y315x3y3.故选 C.2(2019 年浙江)在二项式(2x)9 的展开式中,常数项是_,系数为有理数的项的个数是_.【答案】16 25【解析】(2x)9 的展开式的通项为 Tr1Cr9(2)9rxr29r2 Cr9xr,令 r0,得常数项是 T116 2当 r1,3,5,7,9 时,系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数是 5 个3(2018 年浙江)二项式3 x 12x8 的展开式的常数项是_【答案】7【解析】3 x 12x8 的展开式的通项为 Tr1Cr8(3 x)8r12xr12rCr8x84r3.令84r30,解得 r2.所以常数项是122C287.4.(2020年新课标)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种.【答案】36【解析】先将 2 名同学捆绑在一起看成一个整体,有 C24种方法,再分配到 3 个小区,有 A33种方法,故有 C24A3336 种安排方法.