1、A组基础巩固1曲线x24y252与x2y237的交点个数是()A1B2C3 D4解析:将方程x2y237代入x24y252,可得3y215,则y有两个值,依据任何一个曲线方程可知y的一个值对应两个x值,因此,两条曲线有4个交点答案:D2平面内到定点(0,3)的距离与到定直线y3的距离之比为的动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线解析:显然定点(0,3)不在定直线y3上,又该动点到定点(0,3)的距离与到定直线y3的距离之比为,是大于0小于1的常数,因此满足题意的动点的轨迹是椭圆答案:A3若直线yx2与椭圆1有两个公共点,则m的取值范围是()A(,0)(1,) B(1,3)(3,)C(
2、,3)(3,0) D(1,3)解析:由消去y,整理得(3m)x24mxm0.若直线与椭圆有两个公共点,则解得由1表示椭圆知,m0且m3.综上可知,m的取值范围是m1且m3.答案:B4已知双曲线方程为x21,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L()A4条 B3条C2条 D1条解析:因为双曲线方程为x21,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条答案:B5直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A(,) B(,)C(,)
3、D(,)解析:由,得3x24x20.设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,1.答案:C6已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l:x3的距离的比为,则动点M的轨迹方程为_解析:设M(x,y),则,3(x1)23y2(x3)2.2x23y26.所求方程为1.答案:1.7直线ykx1(kR)与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点,则t的取值范围是_解析:直线ykx1恒过点(0,1),1,t1.又1表示焦点在x轴上的椭圆,0t5,1t5.答案:1t58过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为_解析:将椭圆与直线方程联立得交点A(0,2
4、),B(,),设右焦点为F,故SOABOF|y1y2|1|2|.答案:9中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为,与直线xy10相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点,求椭圆的方程解析:设椭圆方程1(ab0)e,a24b2,即a2B.椭圆方程为1.把直线方程代入化简得5x28x44b20.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2,x1x2(44b2)y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x2(14b2)由于OMON,x1x2y1y20.b2,a2.所以椭圆方程为x2y21.10已知抛物线y24x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过点M作斜率为k的直线l,与抛物
5、线交于A、B两点,AB的中点为P,线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)(1)求k的取值范围;(2)求证:x00.1k1.又k0,k(1,0)(0,1)(2)证明:设P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),可得x3,y3k(1),故线段AB的垂直平分线的方程为y(x)令y0,x01.k2(0,1),x0b0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点若|AF|BF|4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a2(|AF|BF|)8
6、,所以a2.又d,所以1b2,所以e.因为1b2,所以00,b0)交于相异两点M,N,若以MN为直径的圆经过原点,且双曲线C的离心率等于,求双曲线方程解析:(1)m(m1),消去m,得xy1.点P的轨迹方程为xy10.(2),(b2a2)x22a2xa2a2b20,.不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则又以MN为直径的圆过原点,0,x1x2y1y20,即x1x2(1x1)(1x2)0,10,即b2a22a2b2.又e,3,即b22a2.a,b,经检验a,b,符合条件,双曲线方程为4x22y21.6已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,
7、B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由解析:(1)证明:设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)将ykxb代入9x2y2m2,得(k29)x22kbxb2m20,故xM,yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM,即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x,即xP.将点的坐标代入直线l的方程得b,因此xM.四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP2xM.于是2,解得k14,k24.因为ki0,ki3,i1,2,所以当直线l的斜率为4或4时,四边形OAPB为平行四边形