1、第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点、易混点)2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重点、难点)通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 反证法的定义及证题的关键不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义定理 公理事实思考 1：反证法的实质是什么？提示 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的思考 2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？提示 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是
2、逻辑非常严密的演绎推理1“abCabDab 或 ab答案 D2用反证法证明“如果 ab，那么3 a3 b”，假设的内容应是_答案 3 a3 b3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_ 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.4应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有_(填序号)结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作
3、为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果合 作 探 究 释 疑 难 用反证法证明否定性命题【例 1】已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列求证：a，b，c不成等差数列证明 假设 a，b，c成等差数列，则 a c2 b，即 ac2 ac4b.a，b，c 成等比数列，b2ac，即 b ac，ac2 ac4 ac，(a c)20，即 a c.从而 abc，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故 a，b，c不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性
4、命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤跟进训练1设 SA，SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB上一点，求证：AC 与平面 SOB 不垂直证明 假设 AC平面 SOB，如图，直线 SO 在平面 SOB 内，SOAC.SO底面圆 O，SOAB.SO平面 SAB.平面 SAB底面圆 O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即 AC 与平面 SOB 不垂直用反证法证明唯一性命题【例 2】求证方程 2x3 有且只有一个根证明 2x3，xlog23，这说明方程 2x3 有根下面用反证法证明方程 2x3 的根是唯一的：假设方程 2x3 至
5、少有两个根 b1，b2(b1b2)，则 2b13，2b23，两式相除得 2b1b21.若 b1b20，则 2b1b2 1，这与 2b1b21 相矛盾 若 b1b20，则 2b1b2 1，这也与 2b1b21 相矛盾 b1b20，则 b1b2.假设不成立，从而原命题得证巧用反证法证明唯一性命题(1)当 证 明 结 论 有 以“有 且 只 有”“当 且 仅 当”“唯 一 存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推
6、断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性跟进训练2已知：平面 和一点 P.求证：过点 P 与 垂直的直线只有一条证明 如图所示，不论点 P 在 内还是在 外，设 PA，垂足为 A(或 P)假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线PB，设 PA，PB 确定的平面为，且 a，于是在平面 内过点 P 有两条直线 PA，PB 垂直于 a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立用反证法证明“至多”“至少”问题探究问题1你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有 n 个”等量词的含义吗？提示 量词含义 至少有一个有 n 个，其
7、中 n1 至多有一个有 0 或 1 个 至少有 n 个大于等于 n 个 2.在反证法证明中，你能说出“至少有一个、至多有一个、至少有 n 个”等量词的反设词吗？提示 量词反设词 至少有一个一个也没有 至多有一个至少有两个 至少有 n 个至多有 n1 个【例 3】已知 a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实数解证明 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：4a244a30，a124a20，2a242a0，即 32a12，a13或a1，2a0.32a1，这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一
8、个方程有实数解1(变条件)将本题改为：已知下列三个方程 x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 至少有一个方程有实数根，如何求实数 a 的取值范围？解 若三个方程都没有实根，则 16a24a0，a24a20，4a28a0，解得32a12，a13或a1，2a0，即32a1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数 a 的取值范围是aa1或a32.2(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根，求实数 a 的取值范围解 假设三个方程都有实数根，则 4a244a30，a124a20，2a242a0，即4a24a30，3a22a10，a22a0，解得 a32或a12，1
9、a13，a2或a0.即 a.所以三个方程中至多有 2 个方程有实数根时，实数 a 的取值范围为 R.当命题中出现“至少”“至多”“不都”“都不”“没有”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误课 堂 小 结 提 素 养 用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确
10、的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角C“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选 C.2如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数D两个都是负数C 假设两个数分别为 x1，x2，且 x10，x20，则 x1x20，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.3已知平面 平面 直线 a，直线 b，直线 c，baA，ca，求证：b 与 c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_b 与 c 平行或相交 空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、相交，应假设 b 与 c 平行或相交4.设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和求证：数列Sn不是等比数列证明 假设数列Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2)，因为 a10，所以(1q)21qq2，即 q0，这与公比 q0 矛盾 所以数列Sn不是等比数列点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
