1、山东省临沂市第四中学2020-2021学年高二数学12月月考试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 过点P（2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A. 1或3B. 4C. 1D. 1或4C分析：根据斜率公式求.解答：，解得：.故选：C2. 向量，若，且，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 4C分析：根据求出的值，再根据得出，列方程求出的值，即可计算的值解答：解：向量，若，则，解得；又向量，且，则，解得；所以故选：点拨：本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题3. 在等差数列中
2、，为前项和，则A. B. C. D. A解答：由. 故选：A.4. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C. D. A分析：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，则抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过，利用待定系数法求即可解答：以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选A点拨：本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建
3、立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般5. 在公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）A. nB. C. D. B分析：根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式.解答：由题意得，等差数列中，依次成等比数列，故，则，故，又数列7项和为35，则，联立解得：，故，故选：B.点拨：本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.6. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.
4、D解答：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.7. 点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）A. B. C. D. C解答：分析：由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性
5、质及勾股定理求出切线长的最小值即可详解：圆，圆心 ，半径由题意可知，点到圆的切线长最小时，直线圆心到直线的距离 ，切线长的最小值为故选C点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键8. 已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A. B. C. D. D解答：由题意设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨令 在双曲线的右支上由双曲线的定义 由椭圆的定义 又 故 得 将代入得 即 即 故选D点拨：本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据
6、所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 过，两点的直线方程为B. 点关于直线的对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为BC分析：运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误解答：对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；对于B：点(0,
7、2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B正确；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,2,直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y2=0或y=x，所以D不正确；故选：BC.点拨：本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题10. 在递增的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1a432，a2+a312，则下列说法正确的是（ ）A. q1B. 数列Sn+2是
8、等比数列C. S8510D. 数列lgan是公差为2的等差数列BC分析：先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列an的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项解答：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3a1a4320，a2+a3120，故a20，a30根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x212x+320的两个根解得a24，a38，或a28，a34故必有公比q0，a10等比数列an是递增数列，q1a24，a38满足题意q2，a12故选项A不正确ana1qn12nSn2n+12Sn+22n+142n1数列Sn+2是以4为首项，2为公比的等比数列故选
9、项B正确S828+125122510故选项C正确lganlg2nn数列lgan是公差为1的等差数列故选项D不正确故选：BC点拨：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11. 如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，其中正确的命题为（ ）A. 三棱锥的体积为定值B. 异面直线与所成的角为C. 平面D. 直线与平面所成的角为AD分析：A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确B. 利用平移法找异面直线所成的角，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误D，建立坐标系，用向
10、量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确解答：解：对于A， 故三棱锥的体积为定值，故A正确对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为则，即令，则所以直线与平面所成的角为，正确故选：AD点拨：以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求
11、平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则 的面积不大于BCD分析：动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对
12、各个选项逐一验证，即可得出结论解答：由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.点拨：关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.三、填空题：本题共4小题，
13、每小题5分，共20分13. 等差数列中，则数列前9项的和等于_99解答：分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案详解：在等差数列an中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，a4=13，a6=9，a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，数列an前9项之和故答案为99.点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题14. 已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线l：为，则的最小值为_.4分析：利用抛物线的定义转化，再结合图象，利用数形结合分析的最小值.解答：如图，点是
14、抛物线上任一点，根据抛物线的定义可知，所以，由图可知，的最小值是点到直线的距离，到直线的距离，所以最小值为.故答案为：15. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式是_.分析： 时,利用 时, 可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式.解答：当 时, ,当时, =,又 时,不适合,所以.点拨：本题考查了由求 ,注意使用求 时的条件是,所以求出后还要验证 适不适合 ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.若动圆C过点，求圆C的方程_，存在正实数_，使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有
15、一个. (1). 或 (2). 分析：由题意设动圆C的方程为：，圆心满足，动圆过点，则，可求出圆的方程；由圆O的圆心到直线l的距离，当时满足条件.解答：依题意，可设动圆C的方程为：其中圆心满足.又动圆过点，解方程组，可得或，故所求圆C的方程为：或.由圆O的圆心到直线l的距离，当满足时，即时，动圆C中有且仅有1个圆与圆相外切.故答案为：或；点拨：本题考查求圆的方程，考查两圆的位置关系，属于中档题.三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：xy+a=0（1）若直线l1l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1
16、l2，求a的值及直线l1与l2的距离（1）2，（，）；（2）2，解答：试题分析：（1）由垂直可得a1+2（1）=0，解得a值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l1l2时，解得a值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案解：（1）直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：xy+a=0，当直线l1l2时，a1+2（1）=0，解得a=2，l1：2x+2y+1=0，直线l2：xy+2=0，联立解得a的值为2，垂足P的坐标为（，）；（2）当直线l1l2时，解得a=2，l1：2x+2y+1=0，直线l2：2x+2y+4=0，由平行线间的距离公式可得d=a的值为2，直线l1与l2的距离为考
17、点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系18. 已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2.（1）求的方程；并求其焦点坐标；（2）过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，求弦的长.（1）抛物线的方程为；焦点坐标为；（2）.分析：（1）根据已知求出值即得解；（2）由题得直线方程为，再联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解.解答：（1）抛物线的标准方程为，由抛物线的定义可知：，解得，因此，抛物线的方程为，焦点坐标为；（2）直线方程为，由得，设，则，.点拨：方法点睛：求抛物线的弦长，一般先联立直线和抛物线的方程，再利用弦长公式求解.19. 已知是各项均为正数的等比数列，.（1
18、）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.（1）；（2）.分析：(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果解答：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，所以令数列的公比为，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，(2)因为，所以，所以数列是首项为、公差为的等差数列，点拨：本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数
19、列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题20. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(1) ，； (2) 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.分析：(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；（2）设至少经过年旅
20、游业的总收入才能超过总投入，可得0，结合（1）可得，解得，进而可得结果.解答：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1)万元，第n年投入为800(1)n1万元，所以，n年内的总投入为=800+800(1)+800(1)n1=40001()n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1+)，第n年旅游业收入400(1+)n1万元.所以，n年内的旅游业总收入为=400+400(1+)+400(1+)n1=1600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0，即：1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，
21、得x，或x1(舍去).即()n，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.点拨：本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，为的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）证明见解析；（2）.分析：(1) 将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取的中点，连，,证明即可；（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建立空
22、间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角余弦值，进一步求解出正弦值.解答：（1）证明：如图，取的中点，连， ，在直角梯形中，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，（2）平面， ，两两垂直，以为原点，向量方向分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系. 各点坐标如下：，设平面的法向量为由，有,取，则，即设平面的法向量为由，有，取 ，则，即所以故二面角的正弦值为.点拨：本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.22. 已知为坐标原点，椭圆左右焦点分别为，为椭圆的
23、上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于两点.（）若直线的斜率等于，求面积的最大值；（）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.（1）；（2）（）；（）.分析：（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）（）设直线的方程为：，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（）利用韦达定理化简可得，从而可得的轨迹为圆，故可证存在定点，使得为定值.解答：（1）由题意知：，又，则以为圆心且过的圆的半径为，故，所以椭圆的标准方程为：.（2）（）设直线的方程为：， 将代入得：，所以且，故.又，点到直线的距离，所以，等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为.（）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，由（）知：所以，所以，解得，直线过定点或，所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，所以存在定点或，使得为定值.点拨：方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
