1、2导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第32页一、导数的概念1定义：设函数yf(x)，当自变量x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率，也称为yf(x)在x0点的导数2记法：函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)li li .二、与导数相关的概念1平均变化率与导数平均变化率导数表达式f(x0)li 几何意义曲线yf(x)上过两点(x0，f(x0)和(x0x，f(x0x)的割线的斜率曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率图示2.切线的定义如表中图，当x趋于零时，点B将沿着曲线y
2、f(x)趋向于点A，割线AB将绕点A转动，最后趋于直线l，称直线l为曲线yf(x)在点A处的切线疑难提示利用导数的几何意义求过某点的切线方程的步骤(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0)若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的导数f(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴；若f(x0)0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f(x0)0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f(x0)0，切线与x轴平行或是x轴(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列
3、出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程想一想1函数f(x)在x0处的导数f(x0)与x有关吗？提示：导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在xx0及其附近的函数值有关，与x无关练一练2函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是()A在点x0处的斜率B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案：C3函数在某一点的导数是()A在该点的函数的增量与自变量的增量之比B一个函数C一个常数D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案：C4已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,
4、2)，则f(1)的值为()A1B0C1 D2解析：二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，f(1)0，选B.答案：B授课提示：对应学生用书第33页探究一导数概念的理解典例(1)求函数y在x1处的导数；(2)设f(a)3，求 的值解析(1)f(x)，yf(1x)f(1)1，.当x0时，f(1).(2) 3， f(a)f(a)2f(a)6.1解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤(2)当x趋于0时，kx(kR)、(x)n(nN)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用2利
5、用导数定义求函数yf(x)在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)当x趋于0时，得导数f(x0) . 1一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，yf(t)3t.求函数yf(t)在t2处的导数f(2)，并解释它的实际意义解析：因为3，所以f(2) 3.f(2)3的意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.2利用导数的定义求函数y2在点x1处的导数解析：y2(2)1，当x0时，2，函数y2在x1时的导数为2.探究二导数几何意义的应用3(1)求曲线f(x)在
6、点(2，1)处的切线方程；(2)求过点A(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程解析：(1)点(2，1)在曲线y上，曲线y在点(2，1)处的切线斜率就等于y在点(2，1)处的导数kf(2) li ，曲线y在点(2，1)处的切线方程为y1(x2)，整理得x2y40.(2)当x3时，f(3)329，点(3,5)不在曲线yx2上，设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x)，则过点A的切线斜率kf(x0) (2x0x)2x0，过点A的切线方程为yx2x0(xx0)，即2x0xyx0，又点(3,5)在切线上，6x05x0，即x6x050，x01或5，切点为(1,1)或(5,25)，切线方程为y12(x1)
7、或y2510(x5)，即2xy10或10xy250.4在曲线y上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：(1)平行于直线yx1；(2)垂直于直线2x16y10；(3)倾斜角为135.解析：设P点坐标为(x0，y0)，则y，当x无限趋近于0时，无限趋近于，即f(x0).(1)因为切线与直线yx1平行由导数几何意义知f(x0)1，即1，x02，y01.即P(2,1)(2)切线与直线2x16y10垂直，有f(x0)()1，1，x01，y04，即P(1,4)(3)切线倾斜角为135，f(x0)tan 1351，1，x02，y01，即P(2,1)5已知直线l1为曲线yx2x2在(1,0)处的切
8、线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积解析：(1)y (2xx1)2x1.y2113，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.设直线l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.l1l2，2b1，解得b.直线l2的方程为yx.(2)解方程组得.直线l1和l2的交点坐标为.l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，所求三角形的面积S.6.如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)4t2t2的图像，试根据图像，描述、比较曲线f(t)在t0、t1、t2附近的变化情况解析：(1)当t
9、t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴所以在tt0附近曲线比较平坦几乎没有升降(2)当tt1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f(t1)0，所以在tt1附近曲线下降，即函数f(t)在tt1附近单调递减(3)当tt2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f(t2)0，所以在tt2附近曲线下降，即函数f(t)在tt2附近也单调递减由图像可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢因对导数的概念理解不透彻致误典例已知f(x)在xx0处的导数为4，则 _.解析 22 2f(x0)248.答案8错因与防范本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错注意本题分子中x的增量是2x，即(x02x)x02x，解决此类问题关键是变形分母中x的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为 c (c，k为常数且kc0)的形式
