1、长春外国语学校2020-2021学年第二学期期末考试高一年级数学试卷出题人 ： 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第
2、卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（ ）ABCD3已知向量，则与的夹角大小为（ ）ABCD4设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）ABCD5在中，已知，则角C为（ ）ABC或D6如果从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ）A“至少有一个黑球”与“都是红球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与
3、“恰有两个黑球”7.已知样本数据为，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ）ABCD8在正三棱柱中，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为ABCD9如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是AB平面平面C和与平面所成的角相等D异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等10已知是三个平面向量，则下列叙述正确的是（ ）A若，则 B若，且，则C若，则 D若，则11甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）ABCD12已
4、知正方体中，以下结论错误的有（ ）A点P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变B点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变C点P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变DM是平面上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线第卷二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13圆柱的底面半径与高都等于2，则圆柱体积为_14某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_15甲乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为_.16已知三
5、棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行则截面的周长为_三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)平面内给定三个向量，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.18(12分)如图，正方体中，F为与的交点，E为的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角19. (12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中的值；（2）求理科综合分数的众数和中位数；（3）在理科综合分数为， 的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间上的概率？20
6、. (12分)在中，角的对边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.21(12分)乒乓球比赛规则规定，一局比赛，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球（1）求开球第3次发球时，甲比分领先的概率；（2）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；22(12分) 如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，是线段的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按
7、照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.D 11.D 12.B 13. 14.39.6 15. 16. 12 .B【详解】因为，且平面，平面，所以平面，所以上的点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，故A正确；由图可知，当点在直线上运动时，直线与平面所8成角和直线与平面所成角不相等，故B错误；因为平面，所以二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，所以二面角的大小不变，故C正确；因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分线所在平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的
8、轨迹是过点的直线，故D正确16.如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，连接，又分别是中点，又，四边形为平行四边形，平面，平面，又，平面平面，又平面ABC，分别是的中点，在中，所求截面的周长为.故答案为：.17.解：（1）因为，且，.，解得，.（2），.，.，解得.18.【详解】（1）联结EF，由E为的中点，F为的中点知，又平面，平面，故平面（2）在正方形ABCD中，又平面ABCD，平面ABCD，则，又，故平面，又平面，故，即异面直线与所成的角为19.【答案】（1）0.0075；（2）众数为230，中位数为224；（3）5【分析】（1）根据频率和为计算出的值；（2）根据频率分布直方图中小
9、矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.【详解】（1）因为，解得，所以直方图中的值为.（2）理科综合分数的众数是，理科综合分数的中位数在内，设中位数为，则，解得，即中位数为（3）20.在中，角的对边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得；（2）由（1）可知是等腰三角形，根据面积公式求边长，中，再根据余弦定理求中线的长.【解析】（1），由正弦定理边角互化得，由于，即，
10、得.又，.（2）由（1）知，若，故，则，（舍）又在中，.21.（1）0.36（2）0.35222（2021浙江丽水市高二月考）如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，是线段的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可得出，由已知可得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，由此可得出；（2）设点在平面内的射影为点，连接，可得出为直线与平面所成角，利用等体积法计算出，可求得，再利用同角三角函数的基本
11、关系可求得直线与平面所成角的余弦值；（3）设与相交于，连接、，推导出，可得出平面，结合图形可知，当点在或时，三棱锥的体积最小，可得，利用锥体体积公式可求得结果.【详解】（1）在平行四边形中，由余弦定理可得，因为四边形为矩形，则，平面，平面，所以；（2）在中，由余弦定理可得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，平面，平面，由勾股定理的逆定理知，设点在平面内的射影为，连接，则为直线与平面所成角，由，可得，可得，又，因此，直线与平面所成角的余弦值为；（3）设与相交于，连接、，因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，且，为的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，由图可知，当点在或时，三棱锥的体积最小，.
