1、长春外国语学校2020-2021学年第二学期期末考试高一年级数学试卷出题人 : 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共4页。考试结束后,将答题卡交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第
2、卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设(是虚数单位),则在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2“点P在直线m上,m在平面内”可表示为( )ABCD3已知向量,则与的夹角大小为( )ABCD4设正方体的表面积为24,那么其内切球的体积是( )ABCD5在中,已知,则角C为( )ABC或D6如果从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球,那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是( )A“至少有一个黑球”与“都是红球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与
3、“恰有两个黑球”7.已知样本数据为,该样本平均数为2021,方差为1,现加入一个数2021,得到新样本的平均数为,方差为,则( )ABCD8在正三棱柱中,点是侧棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为ABCD9如图,四棱锥的底面为正方形,底面,则下列结论中错误的是AB平面平面C和与平面所成的角相等D异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等10已知是三个平面向量,则下列叙述正确的是( )A若,则 B若,且,则C若,则 D若,则11甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析,甲在每局比赛中获胜的概率为,则本次比赛中甲获胜的概率为( )ABCD12已
4、知正方体中,以下结论错误的有( )A点P在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1PC的体积不变B点P在直线BC1上运动时,直线AP与平面AD1C所成角的大小不变C点P在直线BC1上运动时,二面角P-AD1-C的大小不变DM是平面上到点D和C1距离相等的点,则点M的轨迹是过点D1的直线第卷二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)13圆柱的底面半径与高都等于2,则圆柱体积为_14某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35,35,40,38,52,则这5名党员教师学习积分的方差为_15甲乙两人下棋,甲获胜的概率为,和棋的概率为,则乙不输的概率为_.16已知三
5、棱柱侧棱底面分别是的中点,且,过点作一个截面与平面平行则截面的周长为_三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)平面内给定三个向量,.(1)求满足的实数,;(2)若,求实数的值.18(12分)如图,正方体中,F为与的交点,E为的中点(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成的角19. (12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以, , , , , , 分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中的值;(2)求理科综合分数的众数和中位数;(3)在理科综合分数为, 的2组学生中,用分层抽样的方法抽取4名学生,从这4名学生中随机抽取2人,求这2人理科综合分数都在区间上的概率?20
6、. (12分)在中,角的对边分别为,若,且.(1)求角的值;(2)若,且的面积为,求边上的中线的长.21(12分)乒乓球比赛规则规定,一局比赛,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中,甲先发球(1)求开球第3次发球时,甲比分领先的概率;(2)求开球第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;22(12分) 如图所示,已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直,是线段的中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的余弦值;(3)设点为一动点,若点从出发,沿棱按
7、照的路线运动到点,求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.D 11.D 12.B 13. 14.39.6 15. 16. 12 .B【详解】因为,且平面,平面,所以平面,所以上的点到平面的距离相等,所以三棱锥的体积不变,故A正确;由图可知,当点在直线上运动时,直线与平面所8成角和直线与平面所成角不相等,故B错误;因为平面,所以二面角的大小等于平面与平面所成角的大小,所以二面角的大小不变,故C正确;因为是平面上到点和距离相等的点,所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分线所在平面的交线,即点的轨迹是平面与平面的交线,所以点的
8、轨迹是过点的直线,故D正确16.如图,取AF中点G,分别在,上取点H,M,使,连接,又分别是中点,又,四边形为平行四边形,平面,平面,又,平面平面,又平面ABC,分别是的中点,在中,所求截面的周长为.故答案为:.17.解:(1)因为,且,.,解得,.(2),.,.,解得.18.【详解】(1)联结EF,由E为的中点,F为的中点知,又平面,平面,故平面(2)在正方形ABCD中,又平面ABCD,平面ABCD,则,又,故平面,又平面,故,即异面直线与所成的角为19.【答案】(1)0.0075;(2)众数为230,中位数为224;(3)5【分析】(1)根据频率和为计算出的值;(2)根据频率分布直方图中小
9、矩形的高度可直接判断出众数,计算频率之和为时对应的数据即为中位数;(3)先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比,然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.【详解】(1)因为,解得,所以直方图中的值为.(2)理科综合分数的众数是,理科综合分数的中位数在内,设中位数为,则,解得,即中位数为(3)20.在中,角的对边分别为,若,且.(1)求角的值;(2)若,且的面积为,求边上的中线的长.【答案】(1);(2).【分析】(1)先由正弦定理边角互化,计算求得;(2)由(1)可知是等腰三角形,根据面积公式求边长,中,再根据余弦定理求中线的长.【解析】(1),由正弦定理边角互化得,由于,即,
10、得.又,.(2)由(1)知,若,故,则,(舍)又在中,.21.(1)0.36(2)0.35222(2021浙江丽水市高二月考)如图所示,已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直,是线段的中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的余弦值;(3)设点为一动点,若点从出发,沿棱按照的路线运动到点,求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【分析】(1)利用余弦定理求出,利用勾股定理可得出,由已知可得出,利用线面垂直的判定定理可得出平面,由此可得出;(2)设点在平面内的射影为点,连接,可得出为直线与平面所成角,利用等体积法计算出,可求得,再利用同角三角函数的基本
11、关系可求得直线与平面所成角的余弦值;(3)设与相交于,连接、,推导出,可得出平面,结合图形可知,当点在或时,三棱锥的体积最小,可得,利用锥体体积公式可求得结果.【详解】(1)在平行四边形中,由余弦定理可得,因为四边形为矩形,则,平面,平面,所以;(2)在中,由余弦定理可得,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,则,平面,平面,由勾股定理的逆定理知,设点在平面内的射影为,连接,则为直线与平面所成角,由,可得,可得,又,因此,直线与平面所成角的余弦值为;(3)设与相交于,连接、,因为四边形为平行四边形,且,则为的中点,且,为的中点,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,平面,由图可知,当点在或时,三棱锥的体积最小,.