1、1.3三角函数的诱导公式第1课时公式二、公式三和公式四学 习 目 标核 心 素 养1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式二、三、四2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、证明问题(难点)1.通过对诱导公式的推导，提升学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算素养.1公式二(1)角与角的终边关于原点对称如图所示(2)公式：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .2公式三(1)角与角的终边关于x轴对称如图所示(2)公式：sin()sin ，cos(
2、)cos ，tan()tan .3公式四(1)角与角的终边关于y轴对称如图所示(2)公式：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .思考：(1)诱导公式中角只能是锐角吗？(2)诱导公式一四改变函数的名称吗？提示(1)诱导公式中角可以是任意角，要注意正切函数中要求k，kZ.(2)诱导公式一四都不改变函数名称公式二、三、四的推导过程如下：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin y，cos x.由的终边与单位圆交点为(x，y)得sin()ysin ，cos()xcos .由的终边与单位圆交点为(x，y)得sin()ysin ，cos()xcos .由的终边与单位圆交点为(
3、x，y)得sin()ysin ，cos()xcos .1下列说法中正确的是()A公式二四对任意角都成立B由公式三知cos()cos()C在ABC中，sin(AB)sin CD以上说法均错误CA错误，关于正切的三个公式中k，kZ.B错误由公式三知cos()cos()，故cos()cos()是不正确的C正确因为ABC，所以ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C.故选C.2tan(2 025)的值为()A0B1C1D.Ctan(2 025)tan 2 025tan(5360225)tan 225tan(18045)tan 451.3已知tan 3，则tan() .3tan()tan 3.4
4、若sin()，则sin(4)的值是 由sin()得sin 即sin ，所以sin(4)sin()sin .给角求值问题【例1】求下列各三角函数值：(1)sin 1 320；(2)cos；(3)tan(945)解(1)法一：sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.法二：sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.(2)法一：coscoscoscoscos.法二：coscoscoscos.(3)tan(945)tan 945tan(2252360)tan 225tan(18045)tan 451.利用
5、诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”用公式一或三来转化；(2)“大化小”用公式一将角化为0到360间的角；(3)“小化锐”用公式二或四将大于90的角转化为锐角；(4)“锐求值”得到锐角的三角函数后求值.1求下列各三角函数值：(1)cos；(2)tan(765)；(3)sin cos tan .解(1)coscoscoscoscos.(2)tan(765)tan(72045)tan(45)tan 451.(3)sincostansincostansincostan1.化简求值【例2】(1)化简： ；(2) 化简：.(1)11.(2)解原式1.三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式
6、，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.(3)注意“1”的应用：1sin2cos2tan.2化简：(1)；(2)化简：.解(1)原式1.(2)原式1.给值(式)求值问题【例3】(1)已知sin(360)cos(180)m，则sin(180)cos(180)等于()A.B.C. D(2)已知cos(75)，且为第四象限角，求sin(105)的值思路点拨：(1)(2)(1)Asin(360)cos(180)sin cos m，sin(180)cos(180)sin cos .(2)解cos(75)0，且为第四象限角，sin(75)，sin(105
7、)sin180(75)sin(75).1例3(2)条件不变，求cos(255)的值解cos(255)cos180(75)cos(75).2将例3(2)的条件“cos(75)”改为“tan(75)5”，其他条件不变，结果又如何？解因为tan(75)50，且为第四象限角，所以75是第四象限角由解得或(舍)所以sin(105)sin180(75)sin(75).解决条件求值问题的两个技巧(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的
8、种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简或证明问题探究问题1利用诱导公式化简sin(k)(其中kZ)时，化简结果与k是否有关？提示：有关因为k是奇数还是偶数不确定当k是奇数时，即k2n1(nZ)，sin(k)sin()sin ；当k是偶数时，即k2n(nZ)，sin(k)sin .2利用诱导公式化简tan(k)(其中kZ)时，化简结果与k是否有关？提示：无关根据公式tan()tan 可知tan(k)tan (其中kZ)【例4】设k为整数，化简：.思路点拨：本题常用的解决方法有两种：为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；观察式子结构，kk2k，(k1)(k1)2k，可使用配
9、角法解法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k2m(mZ)，则原式1；当k为奇数时，设k2m1(mZ)，同理可得原式1.法二：(配角法)由于kk2k，(k1)(k1)2k，故cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)，sin(k)sin(k)所以原式1.明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名.(2)用诱导公式，统一角.(3)用因式分解将式子变形，化为最简.提醒：注意分类讨论思想的应用.3求证：tan .证明左边tan 右边，tan .1各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为02之间的角求值公式二将02内的角转化为0之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公
10、式四将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角1下列命题成立的是()A诱导公式二、三、四中，角可以为任意角B当为钝角时，cos()cos C若，则sin sin D若0，则tan tan CA错，因为需使正切有意义；B错，不论为任意角，都有cos()cos ；C正确，因为sin sin()sin ；D错，tan tan()tan .2tan等于()AB.CD.Ctantantantantan.3.的值等于 2原式2.4化简(1)；(2).解(1)cos2.(2)cos .
