1、8.4 直线、平面平行的判定与性质-2-知识梳理 双基自测 2311.直线与平面平行的判定与性质 判 定 性 质 定义 定理 图形 条件 结论 a b a=a,b,ab a a,a,=b a=ab -3-知识梳理 双基自测 2312.面面平行的判定与性质 判 定 性 质 定义 定理 图形 条件 _ ,a 结论 ab a =a,b,ab=P,a,b,=a,=b -4-知识梳理 双基自测 2313.常用结论(1)两个平面平行的有关结论 垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则.平行于同一平面的两个平面平行,即若,则.(2)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.2-5-知
2、识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-6-知识梳理 双基自测 234152.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是 (填序号).AD1BC1;平面AB1D1平面B
3、DC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.答案 答案 关闭-7-知识梳理 双基自测 23415所以四边形AD1C1B为平行四边形.故AD1BC1,从而正确;易证BDB1D1,AB1DC1,又AB1B1D1=B1,BDDC1=D,故平面AB1D1平面BDC1,从而正确;由图易知AD1与DC1异面,故错误;因AD1BC1,AD1平面BDC1,BC1平面BDC1,故AD1平面BDC1,故正确.解析 因为 ABC1D1,-8-知识梳理 双基自测 234153.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点(不与端点重合),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的直线是 .答案 解析 解析
4、 关闭DC,D1C1,A1B1均平行于直线AB,依据直线与平面平行判定定理,均可证明它们平行于平面ABP 答案 解析 关闭DC,D1C1,A1B1-9-知识梳理 双基自测 234154.(教材习题改编P62TA3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是.答案 解析 解析 关闭如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由=12,得 MNAB,因此,MN平面 ABC,且 MN平面 ABD.答案 解析 关闭平面 ABC、平面 ABD-10-知识梳理 双
5、基自测 234155.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件 时,有MN平面B1BDD1.答案 解析 解析 关闭由题意易知平面HNF平面B1BDD1知,当M点满足在线段FH上有MN平面B1BDD1.答案 解析 关闭M线段FH-11-考点1 考点2 考点3 考点 1 线面平行、面面平行的基本问题 例1(1)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mn C.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则(2
6、)设m,n表示不同直线,表示不同平面,则下列结论中正确的是()A.若m,mn,则n B.若m,n,m,n,则 C.若,m,mn,则n D.若,m,nm,n,则n 思考如何借助几何模型来找平行关系?答案 解析 解析 关闭(1)A中,m与n可相交、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若,仍然可满足mn,m,n,故C错误;故D正确.(2)A错误,n有可能在平面内;B错误,平面有可能与平面相交;C错误,n也有可能在平面内;D正确,易知m或m,若m,又nm,n,n,若m,过m作平面交平面于直线l,则ml,又nm,nl,又n,l,n.答案 解析 关闭(1)D(2)D-12-考点1 考点2 考
7、点3 解题心得线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.-13-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是()A.b B.b C.b或b D.b与相交或b或b(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面,的三个命题:若l与m为异面直线,l,m,则;若,l,m,则lm;若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0 答案 解析 解析 关闭(1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与相交或b或b时,均可满足直线ab,且直线a平面的情况,故选D.
8、(2)中,当与相交时,也能存在符合题意的l,m;中,l与m也可能异面;中,l,l,=mlm,同理ln,则mn,正确.答案 解析 关闭(1)D(2)C-14-考点1 考点2 考点3 考点 2 直线与平面平行的判定与性质 例2(2016全国丙卷,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.思考证明线面平行的关键是什么?-15-考点1 考点2 考点3(1)证明 由已知得 AM=23AD=2.取 BP 的中点 T,连接 AT,
9、TN,由 N 为 PC 中点知 TNBC,TN=12BC=2.又 ADBC,故 TNAM,四边形 AMNT为平行四边形,于是 MNAT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.-16-考点1 考点2 考点3(2)解 取 BC 的中点 E,连接 AE.由 AB=AC 得 AEBC,从而 AEAD,且 AE=2-2=2-2 2=5.以 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N 52,1,2,=(0,2,-4),=52,1,-2,=52,1,2.-17-考点1 考点2
10、 考点3 设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则 =0,=0,即 2-4=0,52 +-2=0,可取 n=(0,2,1).于是|cos|=|=8 525.所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 525.-18-考点1 考点2 考点3 解题心得证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法:(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线;(2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;(3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.-19-考点1 考点2 考点3 对点训练2如图,已知四棱
11、锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABCD,DAB=90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.(1)求证:AM=CM;(2)若N是PC的中点,求证:DN平面AMC.12-20-考点1 考点2 考点3 证明(1)在直角梯形 ABCD 中,AD=DC=12AB=1,AC=2,BC=2,AB=2,BCAC.又 PA平面 ABCD,BC平面 ABCD,BCPA.又 PAAC=A,BC平面 PAC,BCPC.在 RtPAB 中,M 为 PB 的中点,则 AM=12PB.在 RtPBC 中,M 为 PB 的中点,则 CM=12PB,AM=CM.-21-考点1 考点2 考点3(2)
12、如图,连接DB交AC于点F.取PM的中点G,连接DG,FM,则DGFM,又DG平面AMC,FM平面AMC,DG平面AMC.连接GN,则GNMC.又GN平面AMC,MC平面AMC.GN平面AMC.又GNDG=G,平面DNG平面AMC.又DN平面DNG,DN平面AMC.DC=12AB,DCAB,DF=12FB.-22-考点1 考点2 考点3 考点 3 平面与平面平行的判定与性质 例3一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.思考证明面面平行的常用方法有哪些?
13、-23-考点1 考点2 考点3 解(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.-24-考点1 考点2 考点3 解题心得判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)面面平行的传递性(,);(3)利用线面垂直的性质(l,l).-25-考点1 考点2 考点3 对点训练3 如图所示,在三棱锥S
14、-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.-26-考点1 考点2 考点3 证明(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.-27-考点1 考点2 考点3(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.
