1、第十周周清 简单的线性规划问题及基本不等式1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90千克;若采用乙种原料,每吨成本为1500元,运费400元,可得产品100千克,如果每月原料的总成本不超过6000元,运费不超过2000元,那么此工厂每月最多可生产多少千克产品?分析:将已知数据列成下表甲原料(吨)乙原料(吨)费用限额成本100015006000运费5004002000产品90100解:设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨,生产z千克产品,则:z=90x+100y作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域:由令90x+100y=t,作
2、直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t,当90x+100y=t过点M()时,直线90x+100y=t中的截距最大,由此得出t的值也最大,最大值zmax=90=440.答:工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张,才能获得利润最大?解:设每天生产A型桌子x张,B型桌子y张
3、.则目标函数为:z=2x+3y作出可行域:把直线l:2x+3y=0向右上方平移至l的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大,此时z=2x+3y取最大值.解方程得M的坐标为(2,3).答:每天应生产A型桌子2张,B型桌子3张才能获得最大利润.评述:简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解.二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0,b0ab三、常用的几个重要不等式(1)a
4、2b22ab(a,bR) (2)ab()2(a,bR)(3)()2(a,bR) (4)2(a,b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.四、算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系;a,bR+:当且仅当ab时取等号.五、利用基本不等式求最值:设x,y都是正数(1)如果积xy是定值P,那么当xy时和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S,那么当xy时积xy有最大值S2.强调:1、在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握三点:“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时,应创造条件. 正:两项必须都是正数; 定:求两项和的最小值,它们的积应为定值;求两项积的最大值,它们的和应为定值。等:等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时,如何处理?3)已知a0,b0,ab1,求证:4.【证明】(1)a0,b0,ab1,2224(当且仅当ab时等号成立)4.原不等式成立例4: (1)设0x2,求函数的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值,然后确定取得最值的条件【解】(1)0x0,y,当且仅当x2x即x1时取等号,当x1时,函数y的最大值是.(2) x0,求f(x)3x的最小值;