1、基础达标一、选择题1(2014吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A.B2C3 D4解析：选A.依题意知，该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱，其表面积为2()221.2. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A4 B2C2 D.解析：选B.设底面边长为x，则Vx32，x2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.3(2014武汉市部分学校调研测试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A16 B2
2、4C34 D48解析：选A. 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其底面是长为6，宽为2的矩形，高为4，故该几何体的体积是V62416.4(2014广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于()A. B.C. D.解析：选D.设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2a2，即aR，则.5. (2013高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A108 cm3B100 cm3C92 cm3D84 cm3解析：选B. 此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，其中这个长方体的长、
3、宽、高分别为6、3、6，故其体积为636108(cm3)三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为(43)48(cm3)，所以所求几何体的体积为1088100(cm3)二、填空题6(2014武汉市部分学校高三调研测试)已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱V球 _.解析：由题意，2r22rh4r2，则rh.故V圆柱V球r2hr3.答案：7(2014武汉市部分学校高三联考)若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是_cm2.解析：由三视图可知，原几何体是一个半圆锥，其底面半圆的半径为2，高为3，故此几何
4、体的表面积是S2243226.答案：268(2014湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为_解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的表面积S194(26)26.答案：26三、解答题9. (2014浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222
5、.10一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形S2(11112)62.能力提升一、选择题1(2014宜昌市一中高三模拟)一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为()A.B3C. D
6、6解析：选B.设该三棱柱的底面边长为a，高为h，则底面正三角形的外接圆半径是，依题意有222，即1,13，当且仅当，即a，h2时取等号，此时a2h取得最大值，因此该棱柱的体积a2h的最大值是623.2(2012高考湖北卷)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d .人们还用过一些类似的近似公式根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是()Ad Bd Cd Dd 解析：选D.由球体积公式得d .因为1.777 777 78，1.910 828 03，1.909 0
7、90 91，而最接近于，所以选D.二、填空题3(2013高考课标全国卷)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_解析：如图，设球O的半径为R，则由AHHB12得HA2RR，OH.截面面积为(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R.S球4R24()2.答案：4(2013高考湖北卷)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸. (注：平地降雨量等于盆中积
8、水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，降水量为3(寸)答案：3三、解答题5一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C平面AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1CC1，BCB1C11，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积VSABCBB11.(2)证明：由(1)知平面AA1C
9、1C平面BB1C1C且B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1.所以B1C1A1C.因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1CAC1.而B1C1AC1C1，所以A1C平面AB1C1.6(选做题)(2013高考湖北卷)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1，同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S
10、中(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估S中h来估算. 已知V(d1d2d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明解：(1)证明：依题意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3，所以四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即
11、A1A2DE.同理可证A1A2FG，所以DEFG.又点M、N分别为AB、AC的中点，则点D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线，因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，FG(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1d2d3，故DEFG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估V.证明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线，可得MNBCa，即为梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG(2d1d2d3)，即V估S中h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1d20，d3d10，故V估V.
