1、通榆一中高三期中考试试题数学（理科）考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4. 本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、复数、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、立体几何.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6
2、0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模是（ ）A. 5B. C. D. 33.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在巴比伦晚期的泥板文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）A. 两B. 两C. 两D. 两5. 若函数的图象关于点对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 6. 已知等比数列中
3、，公比，则（ ）A. 32B. 16C. -16D. -327. 已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 8. 在中，角，的对边分别为，若，点是的重心，且，则的面积为（ ）A. B. C. 或D. 或9. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减10. 如图，在三棱柱中，底面，为等边三角形，分别为，的中点，是线段上的一点，则直线与直线的位置关系可能是（ ）相交 垂直 异面 平行A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，则（ ）A. B. 1C. D. 2
4、12. 已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，且向量，的夹角是，则_.14. 已知等差数列的前项和为，若，则_.15. 若，则_.16. 已知半径为4的球面上有两点，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为，则四面体的体积的最大值为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18. 如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点，为的
5、中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.19. 已知中，角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.20. 如图，在四棱锥中，平面，为线段的中点，交于点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列，满足，.（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，证明：.22. 已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数，的值（2）若函数，试讨论函数的零点个数.通榆一中高三期中考试试题数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5：BCBCA6-10：ABDDB11-12：BD1. B 由题意知，所以.故选B2. C
6、 据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选C.3. B 由，得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.4. C 设10个兄弟由大到小依次分得两银子，设数列的公差为，其前项和为，则由题意得，即，解得.所以长兄分得两银子.故选C.5. A ，由其图象关于点对称，得，即，所以的最小值是，故选A.6. A 由.故选A.7. B 由，得，所以，所以.故选B.8. D 由题可知，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，所以的面积为；当时，所以的面积为.9. D 函数的定义域为，即，所以是偶函数.当时，为减函数，为增函数，所以在上单调递减.故选D.10. B 当点与点重合时，直线与直线相交，连
7、接，由题意，可得，在中，同理，所以，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以，当点不与点重合时，直线与直线异面.故选B.11. B 取向量，作为一组基底，则有，.因为向量与共线，所以，即.故选B.12. D 当时，得；当时，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.因为，所以.又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即对恒成立，当为偶数时，所以，令，则数列是递增数列，所以；当为奇数时，所以，所以，所以.综上，实数的取值范围是.故选D.二、填空题13. 2 14. 108 15. 16. 613. 2 因为，所以.14. 108 由题意，成等差数
8、列，即18，24，30，36，故.15. 因为，所以.因为，所以，所以.16. 6 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，则为与所在截面所成角，即，得，由，所以，同理.因为，所以.在中，得，因为四面体的体积为，连接，当过时，且最大，所以四面体的体积的最大值.三、解答题17. 解：（1）由，得；由，成等比数列，得，即，解得，即.（2）由（1）得，则，即.18. 证明：（1）取的中点，分别连接，.又为的中点，且.又为的中点，据三棱柱性质知，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.解：（2）如图，过点作直线的垂线，且交于点.以为坐标原点，以，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，.设
9、平面的一个法向量，有，取，.，直线与平面所成角的余弦值为.19. 解：（1）因为，由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，所以的面积，得.由余弦定理得.又因为，所以，解得，所以的周长为.20. 证明：（1）因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.所以.又因为，为的中点，所以四边形为正方形，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.因为平面，平面，所以.又，所以为等腰直角三角形.又因为为斜边的中点，所以.又，平面，平面，所以平面.解：（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则有点，所以，.设平面
10、的一个法向量，则，即.令，得.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.21. 证明：（1）因为，所以.又因为，所以，即，所以是公差为2的等差数列.又，所以.（2）由（1），所以，则，由-，得，所以.因为，所以，即.22. 解：（1）因为函数，所以.由题意知，得，解得.（2）由题意知，所以.令，解得，.（i）当时，函数的定义域为，此时，显然在上恒成立，所以在上单调递增.因为，故函数在上有且只有一个零点.（ii）当时，函数的定义域为，此时，所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增.因为，所以在上有且只有一个零点.又.构造函数，则，显然对，所以在上单调递增，所以，即.构造函数，则.显然对，所以在上单调递增，所以，即，所以.所以，所以.又因为当时，所以，所以，所以，使得.所以当时，在上有且仅有两个零点.综上所述，当时，有1个零点；当时，有2个零点.
