1、20202021学年白山市上学期期末考试高三数学试卷(理科)考生注意:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容:必修15,选修2-1,2-2,2-3第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的1设集合,则( )ABCD2复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3双曲线的渐近线方程为( )ABCD4若,则( )ABCD5已知向量,若,则( )A8B12CD6函数的零点所在的区间为( )ABCD7已知,满足约束条件,
2、则的最大值是( )A4B10C8D68函数的图象大致为( )ABCD9执行如图所示的程序框图,若输出的的值为号,则中应填写( )ABCD10函数,其图象相邻两条对称轴间的距离为,将其图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称,则下列点是图象的对称中心的是( )ABCD11有两个质地均匀的正方体玩具,每个正方体的六个面分别标有数字1,2,3,6随机抛掷两个这样的正方体玩具,得到面朝上的两个数字,则这两个数字的乘积能被3整除的概率为( )ABCD12如图,在四面体中,的重心为,则( )A2BCD3第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡上13已知函数,则_14已知直线与
3、直线平行,且与曲线相切,则直线的方程是_15的展开式中的常数项为_16已知直线与椭圆相交于,两点,椭圆的两个焦点分别是,线段的中点为,则的面积为_三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在中,内角,所对的边分别为,且(1)求;(2)若,且的面积为,求的周长18(12分)已知数列是公差为2的等差数列,它的前项和为,且,成等比数列(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和19(12分)我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶,某风投公司准备投资芯片领域若投资光刻机项目,据预期,每年的收益率为30的概率为,收益率为的概率为;若投资光刻胶项目,据预期,每
4、年的收益率为30的概率为,收益率为的概率为,收益率为零的概率为(1)已知投资以上两个项目,获利的期望是一样的,请你为该风投公司选择一个合理的项目,并说明理由;(2)若该风投公司准备对以上你认为比较合理的的项目进行投资,4年累计投资数据如下表:年份20162017201820191234累计投资金额(单位:亿元)2356请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并预测到哪一年年末,该公司在芯片领域的投资收益预期能达到075亿元附:收益投入的资金获利期望;线性回归方程中,20(12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是边长为2的正三角形,点为线段的中点,点是上的点(1)当为中点
5、时,证明:平面平面(2)当时,求二面角的余弦值21(12分)已知函数(1)求的最值;(2)若对恒成立,求的取值范围22(12分)已知抛物线的焦点为,圆,分别是抛物线和圆上的动点,当点在第一象限且轴时,的最大值为4(1)求抛物线的方程;(2)已知过点的直线交抛物线于,两点,且直线,设直线与抛物线的另一个交点为,求的最小值20202021学年白山市上学期期末考试高三数学试卷参考答案(理科)1D因为,所以2C,其在复平面内对应的点位于第三象限3A因为,所以,故双曲线的渐近线方程为4B5C因为,所以,所以,故6B易知是上的减函数,且,所以函数的零点所在的区间为7D作出可行域(图略),当直线经过点时,取
6、得最大值,最大值为68A,为奇函数,在定义域内为减函数,故选A9B应该填入,;,;,;退出循环,输出的的值为,满足题意10D因为图象的相邻两条对称轴间的距离为,所以,所以因为的图象向右平移个单位长度后得到曲线,其图象关于轴对称,所以,即,因为,所以,故令,得,当时,所以点是图象的一个对称中心11A若这两个数字的乘积能被3整除,则这两个数字中至少有3,6中的一个,则所求概率为12C如图,将四面体还原到长方体中,易知四面的棱是长方体的面对角线,则连接交于,连接,则为边的中线,的重心为靠近的三等分点把长方体的对角面单独画出,如图,记为和的交点因为,且,所以为靠近的三等分点,即重心与点重合,故1311
7、4(或),令,解得或(舍去),所以切点的坐标为故直线的方程为,即15展开式的通项为,令,得,所以展开式中的常数项为16设,则,两式相减,得因为直线的斜率为,线段的中点为,所以,得因为,所以,故的面积为17解:(1),故(2)的面积为,即故的周长为18解:(1)由题意知,因为,成等比数列,所以,即,解得,所以,即(2)因为,所以,则又,所以19解:(1)若投资光刻机项目,设收益率为,则的分布列为所以若投资光刻胶项目,设收益率为,则的分布列为0所以因为投资以上两个项目,获利的期望是一样的,所以,所以因为,所以,这说明虽然光刻机项目和光刻胶项目获利相等,但光刻胶项目更稳妥综上所述,建议该风投公司投资
8、光刻胶项目(2),则,故线性回归方程为设该公司在芯片领域的投资收益为,则,解得,故在2020年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过亿元20(1)证明:取的中点,连接,点为的中点,且为的中点, 四边形是正方形,且,四边形为平行四边形,且, 平面,为等边三角形,平面,平面平面,平面平面(2)解:取的中点,的中点,连接和,则且由(1)知,平面,平面,且以为原点,以,所在直线分别为,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则,令,则取平面的一个法向量,则由图可知二面角为锐角,故二面角的余弦值为21解:(1)令,得;令,得所以在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,无最大值(2)由题知,在上恒成立,令,则,因为,所以设,易知在上单调递增因为,所以存在,使得,即当时,在上单调递减;当时, 在上单调递增所以,从而,故的取值范围为22解:(1)当点在第一象限且轴时,点的坐标为因为圆的圆心为,半径,所以,所以,解得或(舍去),故抛物线的方程为(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设的方程为,由可得设,则,因为直线,所以直线的斜率为设,同理可得,故,当且仅当,即时,取得最小值16