1、20202021 学年（下）抚松一中暑假综合题（十）高一数学一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 z 与 1+2i 互为共轭复数，则 zi10（）A12iB1+2iC1+2iD2+i2在 中，若=60，=1，其面积为3，则+=（）A33B2393C 26 33D3923某个总体由编号为 001，002，799，800 的 800 个个体组成，利用下面的随机数表选取 50 个个体，选取方法是从随机数表第 2 行的第 4 列数字开始由左到右依次选取，每行结束后紧接下一行，则选出来的第 4 个个体的编号为（）09 77
2、 93 19 82 74 94 80 04 04 45 07 31 66 49 33 26 16 80 4533 62 46 86 28 08 31 54 46 32 53 94 13 38 47 27 07 36 07 5105 03 27 24 83 72 89 44 05 60 35 80 39 94 88 13 55 38 58 5912 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 27A133B325C394D6034若1,2,2019的平数为 3，为差为 4，且=3(2)，=1,2,3,2019，则新数据1,2,201
3、9的平均数和方差为（）A-3 12B-6 12C-3 36D-6 365已知向量=(2,23)，=(3,1)，则在上的投影是（）A4B2C23D36在直三棱柱 111中，=2，1=1，则点到平面1的距离为（）A34B32C334D37如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点，将四边形 CDFE 沿 EF 翻折，使得平面 平面 ABEF，则异面直线 BD 与 CF 所成角的余弦值为（）A3010B 3010 C7010D 70108正三棱锥的高和底面边长都等于 6，则其外接球的表面积为（）A8B16C32D649将一个总体分为,A B C 三层后，其个体数之比为4:2
4、:1，若用分层抽样的方法抽取容量为 140 的样本，则应从层中抽取的个数为（）A20B30C40D6010甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为甲、乙，标准差分别为甲、乙，则（）A x 甲乙，甲乙B x 甲乙，甲乙Cx甲乙，甲乙Dx甲乙，甲乙11对于，有如下判断，其中错误的判断是（）A若222sinsinsinABC，是钝角三角形B若 AB，则sin C若=8,=10,=60，则符合条件的 有两个D在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积12如图，在三棱柱 111中，平面11,=1,1=2,1=60，D，E，F 分别为1,11,1的中点，则下列说法正确的是（）A
5、/平面 ABFB若 G 为1上点，且=14 1，则 1C三棱柱 111，的体积为 2D1与 BC 所成角的余弦值为34二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上)13已知向量,满足|+2|=1,|2|=5，则 =_14 2020 年新冠肺炎疫情期间，某市在、三个社区中招募志愿者 60 人，现用分层抽样的方法分配三个社区的志愿者人数，已知、的人数之比为 1：2：3，则应从社区抽取_名志愿者.15已知 的内角，所对的边分别为，且=5，+=，则=_.16唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可
6、以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2 所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为143 2.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V，下部分（半球）的体积为2V，则12的值是_.三解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在 中，内角、所对的边分别为、，222sinsinsin2sinsinsinABCABC.（1）求；（2）若=5，的面积为1，求 的周长.18如图，在底面是菱形的四棱锥 SABCD中，=2，=22.（1）证明：平面 SAC；（2）在侧棱上是否存在点，使得/平面？请证明你的结论；（3）若120BAD，求几何体
7、的体积.19如图，正三棱柱 111,=2,1=1,为棱的中点.（1）证明：1/平面1；（2）证明：平面1 平面11；（3）求直线1与平面1所成角的正弦值.202017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取 100 名员工进行问卷调查，调查问卷共有 20个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名员工的成绩都在75,100内，按成绩分成 5 组：第 1组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100
8、，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第 3，4，5 组，现在用分层抽样的方法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“十九大”精神作深入学习(1)求这 100 人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)求第 3，4，5 组分别选取的作深入学习的人数；(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率21在222acbac；22 cosacbc；1sincos62BB这三个条件中,任选一个补充在下列问题中,并给出解答在 ABC 中,内角 A、B、C
9、 的对边分别为 a、b、c,_（1）求 B；（2）若4b,求 ABC 周长的最大值22甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为 12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率 20202021 学年（下）抚松一中暑假综合题（十）高一数学二、选择题(本题共 12 小题，每小题
10、5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 z 与 1+2i 互为共轭复数，则 zi10（）A12iB1+2iC1+2iD2+i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念得 z，进而由复数的乘法运算求解即可.【详解】z 与 1+2i 互为共轭复数，z12i，zi10（12i）(-1)51+2i2在 中，若=60，=1，其面积为3，则+=（）A33B2393C 26 33D392【答案】B【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，最后利用正弦定理可得出答案.【详解】由面积公式=12 =3 =4 =4，由余弦定理有2=2+2 2 =2+2 4 =13，由正弦定
11、理有 =+=1332=2393.3某个总体由编号为 001，002，799，800 的 800 个个体组成，利用下面的随机数表选取 50 个个体，选取方法是从随机数表第 2 行的第 4 列数字开始由左到右依次选取，每行结束后紧接下一行，则选出来的第 4 个个体的编号为（）09 77 93 19 82 74 94 80 04 04 45 07 31 66 49 33 26 16 80 4533 62 46 86 28 08 31 54 46 32 53 94 13 38 47 27 07 36 07 5105 03 27 24 83 72 89 44 05 60 35 80 39 94 88 1
12、3 55 38 58 5912 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 27A133B325C394D603【答案】B【分析】利用随机数表法求解.【详解】由题意，选出的编号为：246，315，446，325，394，所以第 4 个个体的编号为 3254若1,2,2019的平数为 3，为差为 4，且=3(2)，=1,2,3,2019，则新数据1,2,2019的平均数和方差为（）A-3 12B-6 12C-3 36D-6 36【答案】C【分析】直接根据平均数公式和方差公式计算即可【详解】解：=3(2)，=3(2)=3，2=(3)2
13、 4=36，5已知向量=(2,23)，=(3,1)，则在上的投影是（）A4B2C23D3【答案】D【分析】求得|=4,=43，根据投影的公式，即可求解.【详解】由题意，向量=(2,23)，=(3,1)，可得|=4,=2 3+23 1=43，所以在上的投影是|=434=3.6在直三棱柱 111中，=2，1=1，则点到平面1的距离为（）A34B32C334D3【答案】B【分析】根据棱锥体积公式可求得1，将问题转化为三棱锥 1高的求解问题，利用等体积的方式来进行求解.【详解】=2 为边长为2的等边三角形 =12 4 6 0=3，又1 平面 1=13 1=33 1=1=4+1=5，=2 1中边上的高=
14、5 1=2 1=12 =2设点到平面1的距离为 1=113 1 =23 =33，解得：=327如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点，将四边形 CDFE 沿 EF 翻折，使得平面 平面 ABEF，则异面直线 BD 与 CF 所成角的余弦值为（）A3010B 3010 C7010D 7010【答案】A【分析】如图，连接 DE 交 FC 于点 O，取 BE 的中点 G，连接 OG，CG，可得COG（或补角）为异面直线 BD与 CF 所成的角在 中，由余弦定理即可得答案；【详解】如图，连接 DE 交 FC 于点 O，取 BE 的中点 G，连接 OG，CG，则/OGBD
15、且=12，所以COG（或补角）为异面直线 BD 与 CF 所成的角设正方形 ABCD 的边长为 2，则=1，=2+2=5，所以=12 =52 平面 平面，平面 平面=，,平面，平面 CDFE，同理CE 平面，所以 ，所以=2+2=6，所以=12 =62 由CE 平面 ABEF，所以 .又=12 =12，所以=2+2=52 在 中，由余弦定理得，=2+222=(52)2+(62)2(52)2252 62=3010，所以异面直线 BD 与 CF 所成角的余弦值为3010 8正三棱锥的高和底面边长都等于 6，则其外接球的表面积为（）A8B16C32D64【答案】D【详解】作 面于点，则球心在上，|=
16、6，连结,，则|=|=，在 中，|=6 ，|=，又|=6，且 为等边三角形，故|=23 62 32=23，则2 (6 )2=(23)2，则4R，所以球的表面积=42=64.9将一个总体分为,A B C 三层后，其个体数之比为4:2:1，若用分层抽样的方法抽取容量为 140 的样本，则应从层中抽取的个数为（）A20B30C40D60【答案】C【分析】根据分层抽样的原则可计算的抽样比，再利用样本容量乘以抽样比得到结果.【详解】由题意可知层的抽样比为：24+2+1=27应从层中抽取的个数为：140 27=4010甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为甲、乙，标准差分别为甲
17、、乙，则（）A x 甲乙，甲乙B x 甲乙，甲乙Cx甲乙，甲乙Dx甲乙，甲乙【答案】C【分析】根据拆线统计图所反应的实际意义，可以看出两同学的平均成绩的高低和其稳定程度，可得选项.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故甲乙.11对于，有如下判断，其中错误的判断是（）A若222sinsinsinABC，是钝角三角形B若 AB，则sin C若=8,=10,=60，则符合条件的 有两个D在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积【答案】C【分析】结合正弦定理、余弦定理、面积公式等相关知识依次对各选项判断即
18、可.【详解】对于选项 A：由正弦定理可得2+2 2，所以 =2+222 0，0，所以sin11sinsinsinaAabABbB ，又 ，所以 .故 B 正确；对于选项 C：由正弦定理105 3sinsinsin 601sinsin88bccCBBCb，矛盾，因此，符合条件的 不存在.故 C 错误；对于选项 D：在三角形中，如果已知两边及夹角，显然可以直接用三角形面积公式求出三角形面积；如果已知两边及其一边的对角，可以先用余弦定理求出第三边，然后再用面积公式求出三角形面积.故 D 正确.12如图，在三棱柱 111中，平面11,=1,1=2,1=60，D，E，F 分别为1,11,1的中点，则下列
19、说法正确的是（）A/平面 ABFB若 G 为1上点，且=14 1，则 1C三棱柱 111，的体积为 2D1与 BC 所成角的余弦值为34【答案】B【分析】利用所给条件，探讨与 DE 平行的直线同平面 ABF 的关系判断 A 选项，利用异面直线夹角意义并求解可判断选项 B，D，过 A1 作三棱柱的高并求出即可判断 C.【详解】在三棱柱 111中，连接 A1D 并延长交 AB 延长线于 M，连 C1M，如图：因 D 是 BB1 中点，A1B1/AB，则 D 是 A1M 的中点，而 E 是 A1C1 中点，于是 DE/C1M，显然 C1M 与平面 ABF 交于点 M，则 DE 与平面 ABF 必相交
20、，A 不正确；点 G 在1上，且=14 1，则12AG，而 AC=1，中，2=2+2 2 1=34，于是2+2=2，即 1，而 BB1/AA1，则 1，B 正确；过 A1 作 A1OAC 于 O，因 平面 ACC1A1，1 平面 ACC1A1，则 A1OAB，A1O平面 ABC，A1O是三棱柱的高，又 是直角三角形，则三棱柱 111体积=1=12 1 2 6 0=32，C 正确；连接 DF，因 F 是 CC1 中点，则/，异面直线 A1F 与 BC 所成角是1或其补角，在 1中，=2，1=2，显然 11为正三角形，即1=1，1是等腰三角形，则 1=121=24，D 不正确.二、填空题(本题共
21、4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上)13已知向量,满足|+2|=1,|2|=5，则 =_14 2020 年新冠肺炎疫情期间，某市在、三个社区中招募志愿者 60 人，现用分层抽样的方法分配三个社区的志愿者人数，已知、的人数之比为 1：2：3，则应从社区抽取_名志愿者.【答案】20【分析】根据分层抽样的比例，按社区人数比招募自愿者即可求社区抽取志愿者人数.【详解】有分层抽样的比例关系知：社区抽取志愿者人数为60 13=20，故答案为：20.15已知 的内角，所对的边分别为，且=5，+=，则=_.【答案】22【分析】先根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解出的值，再根据对应的
22、余弦定理以及,的关系求解出的值.【详解】因为 +=，由正弦定理得 +=，又因为 =(+)=+，所以 =，又 0，即 =，所以=4.由余弦定理得2=2+2 2 和=5，得22240bbcc，即(+2)(22)=0，解得=22或2(舍)，16唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2 所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为143 2.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V，下部分（半球）的体积为2V，则12的值是_.【答案】2.【分析】设圆柱的高为，表示出表面积
23、可得=43，再分别表示出1V，2V 即可.【详解】解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积=12 42+2=143 2，则=43，所以1=2=43 3，2=12 43 3，故122VV，三解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在 中，内角、所对的边分别为、，222sinsinsin2sinsinsinABCABC.（1）求；（2）若=5，的面积为1，求 的周长.【详解】（1）2 +2 2 =2 ，由正弦定理有2+2 2=2 ，可得2+222=，有 =，得 =1.又由0 ，可得=4；（2）由三角形的面积公式可得=12 4=1，可得=22，由余弦定理有2+
24、2 2 4=5，可得2+2=9.有(+)2=2+2+2=9+42=(22+1)2，可得+=22+1，故 的周长为+=5+22+1.18如图，在底面是菱形的四棱锥 SABCD中，=2，=22.（1）证明：平面 SAC；（2）在侧棱上是否存在点，使得/平面？请证明你的结论；（3）若120BAD，求几何体 的体积.【详解】（1）四棱锥 SABCD底面是菱形，且=，=2，=22，2+2=2，2+2=2，SBSD，又 ABADA，平面，平面，从而 ，又 =，平面 SAC；（2）在侧棱上存在点，使得/平面，其中为的中点，证明如下：设 BDACO，则为的中点，又为的中点，连接，则为的中位线./，又 平面，平
25、面，/平面；（3）当120BAD时，=12 1 20=12 2 2 32=3，几何体 的体积为=13 =13 3 2=233.19如图，正三棱柱 111,=2,1=1,为棱的中点.（1）证明：1/平面1；（2）证明：平面1 平面11；（3）求直线1与平面1所成角的正弦值.【详解】(1)证明：如图，连接1交1于点，则为1的中点，是的中点，/1，平面1，1 平面1，1/平面1.(2)证明：为正三角形，为的中点，1 平面，1 ，1 平面11，平面11且1 =，平面11，AM 平面1，平面1 平面11.(3)平面1 平面11，且交线为1，在平面11内，作 1，则 平面1，1/1，1即为直线1与平面1所
26、成角，在 1中，1=1,=12 =1，1=1=22，直线1与平面1所成角的正弦值为22.202017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取 100 名员工进行问卷调查，调查问卷共有 20个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名员工的成绩都在75,100内，按成绩分成 5 组：第 1组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第 3，4，
27、5 组，现在用分层抽样的方法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“十九大”精神作深入学习(1)求这 100 人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)求第 3，4，5 组分别选取的作深入学习的人数；(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率(1)这 100 人的平均得分为：=5 (75+802 0.01+80+852 0.07+85+902 0.06+90+952 0.04+95+1002 0.02)=87.25.(2)第 3 组的人数为0.06 5
28、100=30，第 4 组的人数为0.04 5 100=20，第 5 组的人数为0.02 5 100=10，故共有 60 人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1.(3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己)共 15 种情况，其中甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取有 12 种情况，故甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率为=1215=45.21在222acbac；22 cosacbc；1s
29、incos62BB这三个条件中,任选一个补充在下列问题中,并给出解答在 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,_（1）求 B；（2）若4b,求 ABC 周长的最大值（1）选222acbac，由余弦定理得 222-1cos22acbBac又(0,)B，3B（6 分）选22 cosacbC，由余弦定理得 2sinsin2sincosACBC，又sinsin()ABC（2 分）2sincos2cossinsin2sincosBCBCCBC 即sin(2cos1)0CB，又sin0C （4 分）1cos2B，(0,)B3B（6 分）选由1sin()cos62BB,得：311sinco
30、s222BB1sin()62B，又5666B 3B （6 分）（2）4b，由余弦定理得：2222cosbacacB2216acac 216()3acac，又22acac （8 分）22316)(4acac（）8ac当且仅当4ac时取等号 （10 分）ABC 周长的最大值为 12（12 分）22甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空设每场比赛双方
31、获胜的概率都为 12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率22解：（1）甲连胜四场的概率为 116（4 分）（2）根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛比赛四场结束,共有三种情况：甲连胜四场的概率为 116；（5 分）乙连胜四场的概率为 116；（6 分）丙上场后连胜三场的概率为 18（7 分）所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684（8 分）（3）丙最终获胜,有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 18比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 116,18,18因此丙最终获胜的概率为 111178168816
