1、 高考资源网（） 您身边的高考专家1.6.1 用导数求函数切线、性质（单调性、极值、零点）一、选择题1曲线yex在点A处的切线与直线xy30垂直，则点A的坐标为()A(1，e1) B.(0,1)C(1，2) D.(0,2)解析：与直线xy30垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为yex，所以由yex1，解得x0，此时ye01，即点A的坐标为(0,1)选B.答案：B2已知函数f(x)(4m1)x2(15m22m7)x2在实数集R上为单调递增函数，则实数m的取值范围是()A2m4 B.2m4C2cb B.abcCbca D.bac解析：设函数f(x)ln xx(x0)，得到f(x)1，根据
2、f(x)1，所以函数f(x)在(1，)上是减函数，又因为13cb.选A.答案：A5(2019哈尔滨期中)设函数f(x)在R上可导，导函数为f(x)，y(x1)f(x)的图象如图所示，则()Af(x)有极大值f(2)，极小值f(1)Bf(x)有极大值f(2)，极小值f(1)Cf(x)有极大值f(2)，极小值f(2)Df(x)有极大值f(2)，极小值f(2)解析：由图象知当x2时，y(x1)f(x)0，则f(x)0，当1x0，则f(x)0，当2x1时，y(x1)f(x)0，当x0，则f(x)2时，f(x)0，当2x0，当x2时，f(x)，故m.选D.答案：D7设函数f(x)x2sin x是区间上的
3、减函数，则实数t的取值范围是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：由题意得f(x)12cos x0，即cos x，解得2kx2k(kZ)f(x)x2sin x在区间上是减函数，2kt2k(kZ)选A.答案：A8(2019郑州三模)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数f(x)的图象大致是()解析：根据题意，函数f(x)，则f(x)，易得f(x)为非奇非偶函数，排除A，B，当x时，f(x)0，排除C.选D.答案：D9对x
4、R，函数f(x)的导数存在，若f(x)f(x)，且a0，则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) B.f(a)f(0) D.f(a)0，故g(x)为R上的单调递增函数，因此g(a)g(0)，即f(0)，所以f(a)eaf(0)选A.答案：A10若函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围为()AaCea0 D.0a0，所以由g(x)0，解得x1.当x1时，g(x)0，函数g(x)为增函数；当x1时，g(x)0，函数g(x)为减函数，所以当x1时，函数g(x)有最小值g(1)e1.画出函数yxex的图象，如图所示，显然当a0时，函数f(x)xexa有两个零点选A.答案：A11定义在R
5、上的函数f(x)的导函数为f(x)，已知f(x1)是偶函数，且(x1)f(x)0.若x12，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2) D.不确定解析：由(x1)f(x)1时，f(x)0，函数单调递减当x0，函数单调递增因为函数f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(1x)，f(x)f(2x)，即函数f(x)图象的对称轴为x1.所以，若1x1f(x2)；若x12x11，此时有f(x2)f(x2)综上，必有f(x1)f(x2)选C.答案：C12设函数f(x)在2,2上的最大值为2，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0) D.解析：设y2x33x21(2x0)，则y6x(x
6、1)(2x0)，所以当2x0，当1x0时，y0时，yeax在(0,2上的最大值e2a2，所以0aln 2；当a0时，y12；当a0时，yeax在(0,2上的最大值小于1.所以实数a的取值范围是.选D.答案：D二、填空题13曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为.解析：y3ln x1x3ln x4，ky|x14，切线方程为y14(x1)，即y4x3.答案：y4x314函数f(x)x33x26在x时取得极小值解析：依题意得f(x)3x(x2)当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0)，令11，解得x01，则y01，即平行于直线yx2且与曲线yx2ln x相切的切点坐标为(1,1)
7、由点到直线的距离公式可得点P到直线xy20的距离的最小值d2.答案：216已知函数f(x)axcos x，x，若x1，x2，x1x2，0)令f(x)0，有3x22x10x(x0)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值由上表易知，函数f(x)在x时取得极小值flnln 3，无极大值(2)由f(x)ax22xln x，有f(x)ax2(x0)，由题设f(x)在区间上是增函数，可知f(x)ax20恒成立故a恒成立设g(x)，则有ag(x)max，g(x)，令g(x)0，有x1，g(x)，g(x)随x的变化情况如下表：x1(1,3)3g(x)0g(x)0极小值又g0，g(
8、3)，故g(x)maxg0，故a0，所以实数a的取值范围为0，)2已知函数f(x)2aln xx2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，求函数f(x)在区间(1，e2)上的零点个数解析：(1)f(x)2aln xx2，f(x).x0，若a0，则f(x)0，则f(x)，当0x0；当x时，f(x)0时，f(x)在(0, )上单调递增，在(，)上单调递减(2)方法一：由(1)得f(x)maxf()a(ln a1), 当a(ln a1)0，即0ae时，函数f(x)在(1, e2)内有无零点；当a(ln a1)0，即ae时，函数f(x)在(0, )内有唯一零点，又10，即ae时，由于f(1)
9、10，f(e2)2aln(e2)e44ae4(2e2)(2e2)，若2e20，即ea时，f(e2)时，f(e2)0，且f()2alneae0，f(1)10，由函数的单调性可知f(x)在(1, )内有唯一的零点，在(， e2)内没有零点，从而f(x)在(1 , e2)内只有一个零点(注：若写成(， e2)上无零点不能给满分)综上所述，当a(0 , e)时，函数f(x)在(1, e2)内有无零点；当a时，函数f(x)在(1, e2)内有一个零点；当a时，函数f(x)在(1, e2)内有两个零点方法二：令f(x)0得， a，原问题转化为函数g(x)(1xe2)与ya的图象交点的个数问题g(x)，令g(x)0得，x.当x(1，)时，g(x)0，可知，g(x)在(1，)递减， 在(，e2)递增，而g()e，g(e2)，借助图形可归纳出当0ae时，f(x)在区间(1，e2)的零点个数为0个；当ae或a时，f(x)在区间(1，e2)的零点个数为1个；当ea时，f(x)在区间(1，e2)的零点个数为2个 高考资源网版权所有，侵权必究！
