1、 高考资源网() 您身边的高考专家1.6.1 用导数求函数切线、性质(单调性、极值、零点)一、选择题1曲线yex在点A处的切线与直线xy30垂直,则点A的坐标为()A(1,e1) B.(0,1)C(1,2) D.(0,2)解析:与直线xy30垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为yex,所以由yex1,解得x0,此时ye01,即点A的坐标为(0,1)选B.答案:B2已知函数f(x)(4m1)x2(15m22m7)x2在实数集R上为单调递增函数,则实数m的取值范围是()A2m4 B.2m4C2cb B.abcCbca D.bac解析:设函数f(x)ln xx(x0),得到f(x)1,根据
2、f(x)1,所以函数f(x)在(1,)上是减函数,又因为13cb.选A.答案:A5(2019哈尔滨期中)设函数f(x)在R上可导,导函数为f(x),y(x1)f(x)的图象如图所示,则()Af(x)有极大值f(2),极小值f(1)Bf(x)有极大值f(2),极小值f(1)Cf(x)有极大值f(2),极小值f(2)Df(x)有极大值f(2),极小值f(2)解析:由图象知当x2时,y(x1)f(x)0,则f(x)0,当1x0,则f(x)0,当2x1时,y(x1)f(x)0,当x0,则f(x)2时,f(x)0,当2x0,当x2时,f(x),故m.选D.答案:D7设函数f(x)x2sin x是区间上的
3、减函数,则实数t的取值范围是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析:由题意得f(x)12cos x0,即cos x,解得2kx2k(kZ)f(x)x2sin x在区间上是减函数,2kt2k(kZ)选A.答案:A8(2019郑州三模)我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数f(x)的图象大致是()解析:根据题意,函数f(x),则f(x),易得f(x)为非奇非偶函数,排除A,B,当x时,f(x)0,排除C.选D.答案:D9对x
4、R,函数f(x)的导数存在,若f(x)f(x),且a0,则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) B.f(a)f(0) D.f(a)0,故g(x)为R上的单调递增函数,因此g(a)g(0),即f(0),所以f(a)eaf(0)选A.答案:A10若函数f(x)xexa有两个零点,则实数a的取值范围为()AaCea0 D.0a0,所以由g(x)0,解得x1.当x1时,g(x)0,函数g(x)为增函数;当x1时,g(x)0,函数g(x)为减函数,所以当x1时,函数g(x)有最小值g(1)e1.画出函数yxex的图象,如图所示,显然当a0时,函数f(x)xexa有两个零点选A.答案:A11定义在R
5、上的函数f(x)的导函数为f(x),已知f(x1)是偶函数,且(x1)f(x)0.若x12,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2) D.不确定解析:由(x1)f(x)1时,f(x)0,函数单调递减当x0,函数单调递增因为函数f(x1)是偶函数,所以f(x1)f(1x),f(x)f(2x),即函数f(x)图象的对称轴为x1.所以,若1x1f(x2);若x12x11,此时有f(x2)f(x2)综上,必有f(x1)f(x2)选C.答案:C12设函数f(x)在2,2上的最大值为2,则实数a的取值范围是()A. B.C(,0) D.解析:设y2x33x21(2x0),则y6x(x
6、1)(2x0),所以当2x0,当1x0时,y0时,yeax在(0,2上的最大值e2a2,所以0aln 2;当a0时,y12;当a0时,yeax在(0,2上的最大值小于1.所以实数a的取值范围是.选D.答案:D二、填空题13曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为.解析:y3ln x1x3ln x4,ky|x14,切线方程为y14(x1),即y4x3.答案:y4x314函数f(x)x33x26在x时取得极小值解析:依题意得f(x)3x(x2)当x2时,f(x)0;当0x2时,f(x)0),令11,解得x01,则y01,即平行于直线yx2且与曲线yx2ln x相切的切点坐标为(1,1)
7、由点到直线的距离公式可得点P到直线xy20的距离的最小值d2.答案:216已知函数f(x)axcos x,x,若x1,x2,x1x2,0)令f(x)0,有3x22x10x(x0),f(x),f(x)随x的变化情况如下表:xf(x)0f(x)极小值由上表易知,函数f(x)在x时取得极小值flnln 3,无极大值(2)由f(x)ax22xln x,有f(x)ax2(x0),由题设f(x)在区间上是增函数,可知f(x)ax20恒成立故a恒成立设g(x),则有ag(x)max,g(x),令g(x)0,有x1,g(x),g(x)随x的变化情况如下表:x1(1,3)3g(x)0g(x)0极小值又g0,g(
8、3),故g(x)maxg0,故a0,所以实数a的取值范围为0,)2已知函数f(x)2aln xx2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a0时,求函数f(x)在区间(1,e2)上的零点个数解析:(1)f(x)2aln xx2,f(x).x0,若a0,则f(x)0,则f(x),当0x0;当x时,f(x)0时,f(x)在(0, )上单调递增,在(,)上单调递减(2)方法一:由(1)得f(x)maxf()a(ln a1), 当a(ln a1)0,即0ae时,函数f(x)在(1, e2)内有无零点;当a(ln a1)0,即ae时,函数f(x)在(0, )内有唯一零点,又10,即ae时,由于f(1)
9、10,f(e2)2aln(e2)e44ae4(2e2)(2e2),若2e20,即ea时,f(e2)时,f(e2)0,且f()2alneae0,f(1)10,由函数的单调性可知f(x)在(1, )内有唯一的零点,在(, e2)内没有零点,从而f(x)在(1 , e2)内只有一个零点(注:若写成(, e2)上无零点不能给满分)综上所述,当a(0 , e)时,函数f(x)在(1, e2)内有无零点;当a时,函数f(x)在(1, e2)内有一个零点;当a时,函数f(x)在(1, e2)内有两个零点方法二:令f(x)0得, a,原问题转化为函数g(x)(1xe2)与ya的图象交点的个数问题g(x),令g(x)0得,x.当x(1,)时,g(x)0,可知,g(x)在(1,)递减, 在(,e2)递增,而g()e,g(e2),借助图形可归纳出当0ae时,f(x)在区间(1,e2)的零点个数为0个;当ae或a时,f(x)在区间(1,e2)的零点个数为1个;当ea时,f(x)在区间(1,e2)的零点个数为2个 高考资源网版权所有,侵权必究!