1、过关检测（二十四）1.如图，曲线E：1(m0，n0)与正方形L：|x|y|4相切(1)求mn的值；(2)设直线l：yxb交曲线E于A，B两点，交L于C，D两点，是否存在这样的曲线E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)联立消去y，得(nm)x28m|x|16mmn0，则64m24(mn)(16mmn)0，化简得4mn(mn)64mn0.又m0，n0所以mn0，从而有mn16.(2)假设存在符合题意的曲线E，有2|AB|CA|BD|，所以|CD|CA|AB|BD|3|AB|4，即|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
2、消去y，得(nm)x22bmxmb2mn0.由4nmb24n2m4m2n0，可得b2mn16，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|，可得 ，从而8，当且仅当mn8时等号成立，所以b2，即有b，符合b2b0)的焦点F1的坐标为(c,0)，F2的坐标为(c,0)，且经过点P，PF2x轴(1)求椭圆C的方程(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)PF2x轴，P，c1，1，又a2b2c2，a2，b.椭圆C的方程为1.(2)假设存在点M(x0，y0)，当l斜率不存在时，|
3、F1M|F1F2|，ac2c，不成立；当l斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去y得(34k2)x28k2x4k2120，16(9k29)0，x1x2，y1y2k(x1x22)，则AB的中点坐标为.AB与MF2的中点重合，代入椭圆的方程1化简得80k424k2270，解得k2，即k.存在符合条件的直线l的方程为y(x1)3已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过点F作倾斜角为45的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|16.(1)求抛物线C的方程(2)设P，M，N为抛物线上不同的三点，且PMPN，若P点的横坐标为8，判断直线MN是否过定点？
4、若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由解：(1)由题意知，直线AB的方程为yx.由消去x，整理得y23py0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yAyB3p.|AB|yAyBp4p16，p4.抛物线C的方程为x28y.(2)由(1)可得点P(8,8)，设M，N，则kPM，同理可得kPN.PMPN，kPMkPN1，化简得x1x28(x1x2)1280(*)易知直线MN的斜率一定存在，设直线MN为ykxb，由得x28kx8b0，则64k232b0，且x1x28k，x1x28b.代入(*)，得8b64k1280，b8k16.直线MN的方程可化为ykx8k16k(x8)16，直线MN过定点(8
5、,16)4(2019广东百校联考)已知F为椭圆C：1(ab0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PFx轴(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x8于点M.判断直线PA，PM，PB的斜率能否构成等差数列？请说明理由解：(1)因为点P(2,3)在C上，且PFx轴，所以c2.由得故椭圆C的方程为1.(2)直线PA，PM，PB的斜率能构成等差数列理由如下：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)令x8，得M的坐标为(8,6k)由消去y，整理得(4k23)x216k2x16(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3k.因为直线AB的方程为yk(x2)，所以y1k(x12)，y2k(x22)所以k1k232k3.把代入，得k1k22k32k1.又k3k，所以k1k22k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列
