1、过关检测(二十四)1.如图,曲线E:1(m0,n0)与正方形L:|x|y|4相切(1)求mn的值;(2)设直线l:yxb交曲线E于A,B两点,交L于C,D两点,是否存在这样的曲线E,使得|CA|,|AB|,|BD|成等差数列?若存在,求出实数b的取值范围;若不存在,请说明理由解:(1)联立消去y,得(nm)x28m|x|16mmn0,则64m24(mn)(16mmn)0,化简得4mn(mn)64mn0.又m0,n0所以mn0,从而有mn16.(2)假设存在符合题意的曲线E,有2|AB|CA|BD|,所以|CD|CA|AB|BD|3|AB|4,即|AB|.设A(x1,y1),B(x2,y2),由
2、消去y,得(nm)x22bmxmb2mn0.由4nmb24n2m4m2n0,可得b2mn16,且x1x2,x1x2,所以|AB|x1x2|,可得 ,从而8,当且仅当mn8时等号成立,所以b2,即有b,符合b2b0)的焦点F1的坐标为(c,0),F2的坐标为(c,0),且经过点P,PF2x轴(1)求椭圆C的方程(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A,B两个不同点,在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由解:(1)PF2x轴,P,c1,1,又a2b2c2,a2,b.椭圆C的方程为1.(2)假设存在点M(x0,y0),当l斜率不存在时,|
3、F1M|F1F2|,ac2c,不成立;当l斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)联立消去y得(34k2)x28k2x4k2120,16(9k29)0,x1x2,y1y2k(x1x22),则AB的中点坐标为.AB与MF2的中点重合,代入椭圆的方程1化简得80k424k2270,解得k2,即k.存在符合条件的直线l的方程为y(x1)3已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,过点F作倾斜角为45的直线与抛物线C交于A,B两点,且|AB|16.(1)求抛物线C的方程(2)设P,M,N为抛物线上不同的三点,且PMPN,若P点的横坐标为8,判断直线MN是否过定点?
4、若是,求出定点的坐标,若不是,请说明理由解:(1)由题意知,直线AB的方程为yx.由消去x,整理得y23py0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则yAyB3p.|AB|yAyBp4p16,p4.抛物线C的方程为x28y.(2)由(1)可得点P(8,8),设M,N,则kPM,同理可得kPN.PMPN,kPMkPN1,化简得x1x28(x1x2)1280(*)易知直线MN的斜率一定存在,设直线MN为ykxb,由得x28kx8b0,则64k232b0,且x1x28k,x1x28b.代入(*),得8b64k1280,b8k16.直线MN的方程可化为ykx8k16k(x8)16,直线MN过定点(8
5、,16)4(2019广东百校联考)已知F为椭圆C:1(ab0)的右焦点,点P(2,3)在C上,且PFx轴(1)求C的方程;(2)过F的直线l交C于A,B两点,交直线x8于点M.判断直线PA,PM,PB的斜率能否构成等差数列?请说明理由解:(1)因为点P(2,3)在C上,且PFx轴,所以c2.由得故椭圆C的方程为1.(2)直线PA,PM,PB的斜率能构成等差数列理由如下:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x2)令x8,得M的坐标为(8,6k)由消去y,整理得(4k23)x216k2x16(k23)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.设直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3k.因为直线AB的方程为yk(x2),所以y1k(x12),y2k(x22)所以k1k232k3.把代入,得k1k22k32k1.又k3k,所以k1k22k3,故直线PA,PM,PB的斜率成等差数列