1、(十七)巧拆函数 有效分离速解技法学一招若一个方程或不等式由几个基本初等函数组成，当整体处理有困难或难度较大时，可以尝试通过拆分函数的方法去解决，实际上参变分离即为拆分函数的一种特殊情况，参变分离较多运用在带参数的二次方程或不等式中，而拆分函数则有更大的运用范围.典例 已知函数 f(x)ln xax(a0)(1)若函数 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围；(2)证明：当 a2e时，f(x)ex.解(1)法一：由题意知，函数 f(x)ln xax的定义域为(0，)f(x)1x ax2xax2.因为 a0，所以 x(0，a)时，f(x)0.所以函数 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上
2、单调递增所以 f(x)minf(a)ln a1.又 f(1)ln 1aa0，所以当 ln a10，即 00，当 x1e，时，g(x)0，a0，所以 0ex，即证当 x0，a2e时，ln xaxex，即证 xln xaxex，令 h(x)xln xa，则 h(x)ln x1.当 0 x1e时，f(x)1e时，f(x)0，所以函数 h(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增所以 h(x)minh1e 1ea故当 a2e时，h(x)1ea1e.令(x)xex，则(x)exxexex(1x)当 0 x0；当 x1 时，(x)0 时，(x)1e.显然，不等式中的等号不能同时成立故当 a2e时，f
3、(x)ex.经典好题练一手1已知二次函数 f(x)x2xa，若 f(x)在区间1,1上有两个不同的零点，则 a 的取值范围是_解析：法一：设函数的两个零点分别为 x1，x2，不妨设 x10)，得 h(x)在(0，)上为减函数，且 h(1)0，所以当 x(0,1)时，h(x)0，故 g(x)0，g(x)为增函数，当 x(1，)时，h(x)0，故 g(x)0，g(x)为减函数，所以 g(x)maxg(1)1e，又当 x时，g(x)0，所以 g(x)的图象如图所示，故 0a2.解：(1)因为 f(1)e，所以(ab)ee，故 ab1.依题意，f(1)2e1.又 f(x)aex1ln xx2b(exx
4、33x2ex)，故 f(1)ae14be2e1，故 a4b2.联立，解得 a2，b1.(2)证明：由(1)得 f(x)2exln xx exx3，要证 f(x)2，即证 2exexx32ln xx.令 g(x)2exexx3，则 g(x)ex(x33x22)ex(x1)(x22x2)，故当 x(0,1)时，ex0.令 p(x)x22x2，因为 p(x)图象的对称轴为 x1，且 p(0)p(1)0，故存在 x0(0,1)，使得 p(x0)0，故当 x(0，x0)时，p(x)x22x20，即 g(x)在(0，x0)上单调递增；当 x(x0,1)时，p(x)x22x20，故 g(x)ex(x1)(x
5、22x2)g(0)2，又当 x(0,1)时，ln xx 0，所以 2ln xx 2ln xx，即当 x(0,1)时，f(x)2.常用结论记一番参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设 x 为自变量，其范围设为 D，f(x)为函数；a 为参数，g(a)为其表达式)若 f(x)的值域为m，M，(1)xD，g(a)f(x)，则只需要 g(a)f(x)minm，xD，g(a)f(x)，则只需要 g(a)f(x)，则只需要 g(a)f(x)maxM；(3)x0D，g(a)f(x0)，则只需要 g(a)f(x)maxM，x0D，g(a)f(x0)，则只需要 g(a)f(x0)，则只需要 g(a)f(x)minm.
