1、第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示目标 1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标重点 空间向量基本定理的应用难点 应用空间向量基本定理解决问题课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 空间向量基本定理填一填1定理：条件：三个向量 a，b，c结论：对空间任一向量 p，存在有序实数组，使得.不共面x，y，zpxaybzc2基底：空间中任何的三个向量 a，b，c 都可以构成空间的一个基底，即3基向量：空间的
2、一个基底a，b，c中的向量都叫做基向量不共面a，b，ca，b，c答一答1(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念2空间的基底唯一吗？3为什么空间向量基本定理中 x，y，z 是唯一的？提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底提示：平移向量 a，b，c，p 使它们共起点，如图所示，以p 为体对角线，在 a，b，c 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此 p 在 a，b，c
3、方向上的分解是唯一的，即 x，y，z 是唯一的知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示填一填1单位正交基底：有公共起点 O 的三个的单位向量 e1，e2，e3 称为2空间直角坐标系：以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为原点，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.两两垂直单位正交基底e1，e2，e33空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量 p，一定可以把它，使它的起点与原点 O 重合，得到向量OP p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得 p.把称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作，即点 P 的坐标为平移xe
4、1ye2ze3x，y，zp(x，y，z)(x，y，z)答一答4与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？提示：xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz 平面上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z)另外还要注意向量OP 的坐标与点 P 的坐标相同5向量可以平移，向量 p 在坐标系中的坐标唯一吗？提示：唯一在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变1空间向量基本定理注意点空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以
5、线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的我们在用选定的基向量表示指定的向量时要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止2空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标类型一 空间向量基本定理的理解【例 1】已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空
6、间的一个基底？【分析】利用共面定理判断OA，OB，OC 是否共面【解】假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 x，y，使OA xOB yOC 成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3 不共面，3xy1，xy2，2xy1，此方程组无解，即不存在实数 x，y，使OA xOB yOC 成立OA，OB，OC 不共面故OA，OB，OC 能作为空间的一个基底 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判
7、断.已知 a、b、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是()A2a，ab，a2bB2b，ba，b2aCa,2b，bcDc，ac，ac解析：因为 a，b，c 不共面，易知 a,2b，bc 不共面故应选 C.C类型二 用基底表示向量【例 2】如图所示，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE13BB1，DF23DD1.(1)证明 A，E，C1，F 四点共面；(2)若EFxAByAD zAA1，求 xyz.【分析】要证明四点共面只需证明AC1 可用AE，AF表示即可；第(2)问中求 xyz 只需先把EF用AB，AD，AA1
8、表示出来，求出 x，y，z，再求 xyz.【解】(1)证明：AC1 AEEC1，又EC1 EB1 B1C1 23BB1 B1C1 23AA1 AD，AFAD DF AD 23DD1 AD 23AA1，EC1 AF，AC1 AEAF，A，E，C1，F 四点共面(2)解：EFAFAEAD DF(ABBE)AD 23DD1 AB13BB1 ABAD 13AA1，x1，y1，z13.xyz13.在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确如夹角或线段长度的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题.已知平行六面体 OABC-OABC，OA
9、 a，OC c，OO b，D 是四边形 OABC 的对角线交点，则()A.OD abcB.OD b12a12cC.OD 12ab12cD.OD 12ab12cD解析：OD OO OD OO 12OA 12OCb12a12c.类型三 求向量的坐标【例 3】如图所示，已知点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，且 PA平面 ABCD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，且 PAAD，求向量MN 的坐标【分析】空间向量的坐标源于向量的正交分解，如果把向量 a 写成 xiyjzk，则 a 的坐标为(x，y，z)；还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量的坐标【解】设正方形的边长为 a，P
10、AADAB，且 PA，AD，AB 两两互相垂直，故可设DA ai，ABaj，APak.以 i，j，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系方法一：MN MA APPN12ABAP12PC12ABAP12(AD ABAP)12ajak12(aiajak)12ai12ak，MN(12a,0，12a)方法二：P(0,0，a)，C(a，a,0)，N 点的坐标为(12a，12a，12a)M 点的坐标为(0，12a,0)，MN(12a,0，12a)用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合
11、适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB90，CACB1，CC12，M 为 A1B1 的中点以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CC1所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB1 的坐标为，MB 的坐标为(1,1,2)(12，12，2)解析：A(1,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,
12、2)，M(12，12，2)，AB1 CB1CA(1,1,2)，MB(12，12，2).1设命题 p：a，b，c 是三个非零向量；命题 q：a，b，c为空间的一个基底，则命题 p 是命题 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当非零向量 a，b，c 不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底，当a，b，c为基底时，一定有 a，b，c为非零向量B2已知a，b，c是空间的一个基底，则可以和向量 pab，qab 构成基底的向量是()AaBbCa2bDa2c解析：能与 p，q 构成基底，则与 p，q 不共面apq2，bpq2，a2b3pq2，A、B、C 都不
13、合题意，由于a，b，c构成基底，a2c 与 p，q 不共面，可构成基底D3设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量 a3i2jk，b2i4j2k 的坐标分别是解析：i，j，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知 a(3,2，1)，b(2,4,2)(3,2，1)，(2,4,2)4已知点 G 是ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA OBOC OG，则 的值是.3解析：如图，G 为ABC 重心，E 为 AB 中点，OE 12(OAOB)，CG 23CE23(OE OC)，OG OC CG OC 23(OE OC)13(OA OB OC)，3.5如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，设OA a，OCb，OP c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示BF、BE、AE、EF.解：BF12BP12(BO OP)12(cba)12a12b12c.BEBCCEa12CPa12(CO OP)a12b12c.AEAPPEAO OP 12(PO OC)ac12(cb)a12b12c.EF12CB12OA 12a.温示提馨请 做：课时作业 22PPT文稿（点击进入）
