1、第五节椭圆时间:45分钟分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)12m6是方程1表示椭圆的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若1表示椭圆,则有2m6且m4,故2mb0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由AB中点为(1,1)得x1x22,y1y22.又直线AB过F(3,0),得直线的斜率k,由点差法得0即0得0得0,即a22b2.又c3,即a2b29,解得a218,b29.故选D.答案D6(2013全国
2、大纲卷)椭圆C:1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2,1,那么直线PA1斜率的取值范围是()A, B,C,1 D,1解析A1(2,0),A2(2,0),上顶点B1(0,),若P位于B1处,kPA21,由图象分析P位于第一象限,设P(x0,y0),则y0,kPA22,1得,而kPA1,故选B.答案B二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7(2013湖南岳阳一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为_解析由ABF2的周长4a16,得a4,
3、又知离心率为,即,得c2,所以a216,b2a2c21688,C的方程为1.答案18(2014韶关调研)已知F1(1,0),F2(1,0)为椭圆1的两个焦点,若椭圆上一点P满足|4,则椭圆的离心率e_.解析由题意2a4,a2,又c1,e.答案9设F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左,右焦点,若在直线x上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是_解析设P(,y),线段F1P的中点Q的坐标为(,),则直线F1P的斜率kF1P,当直线QF2的斜率存在时,设直线QF2的斜率为kQF2(b22c20)由kF1PkQF21得y20,但注意到b22c20,故2c2b20,即3c2a
4、20,即e2,故e1.当直线QF2的斜率不存在时,y0,F2为线段PF1的中点由c2c得e,综上得e1.答案三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10已知椭圆的两焦点为F1(1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程;(2)若点P在第二象限,F2F1P120,求PF1F2的面积解(1)依题意得|F1F2|2,又2|F1F2|PF1|PF2|,|PF1|PF2|42a.a2,c1,b23.所求椭圆的方程为1.(2)设P点坐标为(x,y),F2F1P120,PF1所在直线的方程为y(x1)tan120,即y(x1)解方程组并注意到
5、x0,可得SPF1F2|F1F2|.11设椭圆C:1(ab0)过点(0,4),离心率为.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解(1)将(0,4)代入C的方程得1,b4.又由e,得,即1,a5.C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80,解得x1,x2.设线段AB的中点坐标为(x,y),则x,y(x1x26),即中点坐标为.12.(2014济宁模拟)如图,在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD,AB的中点为O,ADAB,ADB
6、C,AB4,BC3,AD1,以A,B为焦点的椭圆经过点C.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点E(0,1),问是否存在直线l与椭圆交于M,N两点且|ME|NE|,若存在,求出直线l斜率的取值范围;若不存在,请说明理由解析:(1)连接AC,依题意设椭圆的标准方程为:1(ab0),在RtABC中,AB4,BC3,AC5.CACB532a,a4.又2c4,c2,从而b2,椭圆的标准方程为1. (2)由题意知,当l与x轴垂直时,不满足|ME|NE|,当l与x轴平行时,|ME|NE|显然成立,此时k0.设直线l的方程为ykxm(k0),由消去y整理得(34k2)x28kmx4m2480.由直线与椭圆交于两点得64k2m24(34k2)(4m248)0,16k212m2.设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为F(x0,y0),则x0,y0kx0m.|ME|NE|,EFMN,kEFk1,即k1,化简得m(4k23),结合得16k212(4k23)2,即16k48k230,解得k(k0)综上可知,存在满足条件的直线l,且其斜率k的取值范围为.