1、23 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程内 容 标 准学 科 素 养1.掌握双曲线的定义2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 双曲线的定义预习教材P5253，思考并完成以下问题我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把
2、笔尖放在点 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线这条曲线是满足下面条件的点的集合：PM|MF1|MF2|常数如果使点 M 到点 F2 的距离减去到点 F1 的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)这条曲线是满足下面条件的点的集合：PM|MF2|MF1|常数这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支 知识梳理 双曲线的定义：把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距差的绝对值两个定点两焦点间的距离思考 若常数|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数
3、|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线 不存在知识点二 双曲线的标准方程思考并完成以下问题类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设 M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|2c，|MF1|MF2|2a，则|xc2y2 xc2y2|2a，整理得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，令 b2c2a2(b0)，则 b2x2a2y2a2b2，即x2a2y2b21(a0，b0)双曲线的标准方程 知识梳理 双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1，F2F1，F2焦距
4、|F1F2|2c，c2x2a2y2b21 y2a2y2b21(c,0)(c,0)(0，c)(0，c)a2b2自我检测1动点 P 到点 M(1,0)，N(1,0)的距离之差的绝对值为 2，则点 P 的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C两条射线D一条射线答案：C2双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D(3，0)答案：C探究一 双曲线定义的应用教材 P61习题 2.3A 组 1 题双曲线 4x2y2640 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1，那么点 P 到另一个焦点的距离等于_解析：双曲线 4x2y2640 可化为y264x2161，a8.由
5、定义知|PF1|PF2|16，|PF2|16|PF1|，|PF2|17 或|PF2|15(舍去)答案：17例 1(1)若双曲线 E：x29 y2161 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3(2)设 F1、F2 分别是双曲线 x2y2241 的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2 的面积等于()A4 2B8 3C24 D48解析(1)由题意得|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|6，|PF2|9 或3(舍去)故选 B.(2)|PF1|PF2|23|PF1|4|PF2|，解得|
6、PF1|8，|PF2|6.在PF1F2 中，|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|10PF1F2 为直角三角形，SPF1F212|PF1|PF2|24.故选 C.答案(1)B(2)C方法技巧(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 ca)(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体
7、思想和一些变形技巧的灵活运用跟踪探究 1.已知双曲线x29 y2161 的左、右焦点分别是 F1、F2.若双曲线上一点 P 使得F1PF260，求F1PF2 的面积解析：由x29 y2161 得，a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以 102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin F1PF21264 32 16 3.探究二 求双曲线的标准方程阅读教材 P54例 1已知双曲线两个焦点分别为 F1(5,0)，F2(5
8、,0)，双曲线上一点 P 到F1、F2 距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程题型：待定系数法求双曲线的标准方程方法步骤：(1)根据条件设出所求方程x2a2y2b21(a0，b0)(2)根据双曲线的定义得 2a|PF1|PF2|6，a3.又c5，从而求出 b.(3)写出所求的标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(2)双曲线上两点 P1，P2 的坐标分别为(3，4 2)，94，5.解析(1)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标
9、准方程为 y2144x2251.(2)设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，则9m32n1，8116m25n1，解得n 116，m19，双曲线的标准方程为y216x29 1.方法技巧 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 x2a2k y2b2k1(b2k0，b0)，将点 A(4，5)代入双曲线方程，得25a216b21.又 a2b29，解得 a25，b24，所以双曲线的标准方程为
10、y25x24 1.(2)若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以 9a2 22516b21，2569a225b21，解得a216，b29(舍去)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，将 P，Q 两点坐标代入可得 22516a2 9b21，25a22569b21，解得a29，b216，所以双曲线的标准方程为y29x2161.综上，双曲线的标准方程为y29x2161.探究三 与双曲线有关的轨迹问题阅读教材 P54例 2已知 A，B 两地相距 800 m，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹
11、爆炸点的轨迹方程题型：求动点的轨迹方程方法步骤：(1)建立直角坐标系，使 A、B 在 x 轴上，坐标原点为 AB 的中点，设爆炸点 P(x，y)(2)建立 P 的几何性质，|PA|PB|680.(AB800600)故 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线一支从而写出所求轨迹方程例 3 如图，在ABC 中，已知|AB|4 2，且三个内角 A，B，C 满足 2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程解析 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2 2，0)，B(2 2，0)由正弦定理得 sin A|BC
12、|2R，sin B|AC|2R，sin C|AB|2R(R 为ABC 的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|12|AB|2 2 2)方法技巧(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪探究 3如图所示，已知定圆 F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆 M 与定圆 F1，F2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解析：圆 F1
13、：(x5)2y21，圆心 F1(5,0)，半径 r11；圆 F2：(x5)2y242，圆心 F2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3ca2，故|PF1|1 舍去；当 P 在右支上时，|PF1|ca12，故|PF1|21，故选 D.答案：D2混淆 a，b，c 的关系致误双曲线 8kx2ky28 的一个焦点坐标为(0,3)，求 k 的值易错分析 由 8kx2ky28，得x21ky28k1.焦点在 y 轴上，a2 8k，b21k，又c2a2b2，故 37k，k73.混淆了椭圆与双曲线中 a、b、c 的关系导致结果错误考查直观想象
14、、数学运算的学科素养自我纠正 将双曲线的方程化成 kx2k8y21.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在 y 轴上，且 c3.所以 a28k，b21k.所以8k1k9，解得 k1.3忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线 x2m2 y2m71 的焦距等于 6，求实数 m 的值易错分析 解答本题时，容易将 m2 看作 a2，将 m7 看作 b2，而造成漏解考查逻辑推理及数学运算自我纠正 因为双曲线的焦距等于 6，即 2c6，所以 c3，即 a2b2c29.(1)当双曲线焦点在 x 轴上时，方程为 x2m2 y2m71，a2m2，b2m7，所以 m2m79，解得 m9，即实数 m 的值为 9.(2)当双曲线焦点在 y 轴上时，方程为 y27m x22m1，a27m，b22m，所以 7m2m9，解得 m0，即实数 m 的值为 0.综上可知，实数 m 的值为 0 或 9.04 课时 跟踪训练
