1、山东省临沂市2020届高三数学一模试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知复数，在复平面内对应的点分别为，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，再计算共轭复数得到答案.【详解】复数，在复平面内对应的点分别为，故，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.3
2、.若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依次判断充分性和必要性，取得到不充分，得到答案.【详解】当时，取，则，故不充分；当时，根据幂函数的单调性得到，故，必要性成立.故选：.【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4.已知向量，其中与是相反向量，且，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】设，则，计算得到，再计算数量积得到答案.【详解】设，则，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.已知，则（ ）A. B. C. D.
3、 【答案】B【解析】【分析】计算得到，得到答案.【详解】，又，所以，故.故选：.【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知函数，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算，对比图像得到答案.【详解】，故，.，对比图像知满足条件.故选：.【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用.7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆
4、周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）A. 200两B. 240两C. 360两D. 400两【答案】D【解析】【分析】计算底面半径为，换算单位得到答案.【详解】底面半径为，立方丈立方寸斛，故两.故选：.【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，若函数的图象恒过定点，则的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】计算，则，
5、计算得到答案.【详解】函数的图象恒过定点，故.，即，焦点为，准线为，即.，当共线时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. “，”的否定是“，”D. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称【答案】BC【解析】【分析】根据齐次式计算，错误，正确，特称命题的否定是全称命题，正确，平移后得到偶函数，错误，得到答案.【详解】，
6、则，故错误；，则，正确；根据特称命题的否定是全称命题：“，”的否定是“，”，故正确；将函数的图象向左平移个单位长度，得到为偶函数，故错误.故选：.【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（ ）A. 全国高考报名人数逐年增加B. 2018年全国高考录取率最高C. 2019年高考录取人数约820万D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小
7、【答案】BCD【解析】【分析】根据图表2016年的人数少于2015年人数，故错误，2018年的录取率为，为最高，正确，2019年高考录取人数为，故正确，计算占比得到正确，得到答案.【详解】2016年的人数少于2015年人数，故错误；2018年的录取率为，为最高，正确；2019年高考录取人数为，故正确；从20102019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：，故正确.故选：.【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在中，角，的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据正弦定理得到，根据余弦定理得到，得到答案.
8、【详解】，故，根据正弦定理：，即，故，.，化简得到，解得或，若，故，故，不满足，故.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如图，点为正方形边上异于点，的动点，将沿翻折成，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在点和某一翻折位置，使得B. 存在点和某一翻折位置，使得平面C. 存在点和某一翻折位置，使得直线与平面所成的角为45D. 存在点和某一翻折位置，使得二面角的大小为60【答案】ACD【解析】【分析】依次判断每个选项：当时，正确，平面，则，这与已知矛盾，故错误，取二面角的平面角为，取，计算得到，正确，取二面角的平面角为，计算得到，
9、故正确，得到答案.【详解】当时，故平面，故，正确；若平面，因平面，平面平面，则，这与已知矛盾，故错误；如图所示：交于，交于，在平面的投影在上，连接，故为直线与平面所成的角，取二面角的平面角为，取，故，故只需满足，在中，根据余弦定理：，解得，故正确；过作交于，则为二面角的平面角，取二面角的平面角为，故只需满足，设，则，化简得到，解得，验证满足，故正确；故选：.【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游
10、.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_.【答案】【解析】分析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有种选择情况，他们选择同一城市有种情况，即可求得答案.【详解】三人均等可能前往三个城市之一共有种选择情况，他们选择同一城市有种情况，概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.若展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为_【答案】405【解析】【分析】根据系数和得到，再根据二项式定理计算得到答案.【详解】展开式中的各项系数的和为，故，故的展开式的通项为：，取得到常数项为.
11、故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则该双曲线的离心率为_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据渐近线得到，得到离心率，不妨取，计算得到答案.【详解】一条渐近线方程为，故，故.，不妨取，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数取值范围是_【答案】，或【解析】【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，即，根据图像得到答案.【详解】当时，故，故函数在上单调递增，在上单
12、调递减，；当时，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，画出函数图像，如图所示：，即，根据图像知：或，解得或.故答案为：，或.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.记为数列的前项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足的正整数的最大值【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）根据公式得到得到通项公式.（2），故，解得答案.【详解】（1）当，又，当时，整理得，（2）因为，所以，所以，故，令，解得，所以的最大值为8【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数
13、列公式方法的综合应用.18.已知函数满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：，周期，过点，（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求的解析式；（2）求函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）所满足的三个条件是：，计算得到，解得，得到解析式.（2）根据题意，故，或，得到答案.【详解】（1）所满足的三个条件是：，的周期，又过点，且，又，又，（2）由，得，或，或，所以函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图，斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，为
14、的中点，平面，点在上，为与的交点，且与平面所成的角为（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，证明相似得到，得到证明.（2）以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）连结，为的中点，又，又平面，平面，所以平面（2）因为是边长为2的正三角形，为的中点，平面，所以，两两垂直，以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系与平面所成的角为，又，与平面所成的角为，又平面，与平面所成的角为，即又是边长为2的正三角形，为的中点，由题意知，所以，设平面的法向量为，所以，即
15、，取，设平面的法向量为，由，得，取，所以，设二面角的大小为，所以二面角的正弦值为【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，已知点的轨迹是过点的圆（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点（，在轴的同侧），为椭圆的左、右焦点，若，求四边形面积的最大值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）设点，得到，点的轨迹是过的圆，故，得到椭圆方程.（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，设，直线的方程为，联立方程得到，计算，利用均值不等式得到答案.【详解】（1）设点，则点，点在椭圆上，即为点的轨迹方程又点的轨迹是
16、过的圆，解得，所以椭圆的方程为（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，由（1）可知，设，直线的方程为，由可得，设与的距离为，则四边形面积，而，当且仅当，即时，取等号故四边形面积的最大值为3【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.21.2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计
17、结果如图：（1）若此次知识竞答得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额参考数据：；【答案】（1），；（2）分布列详见解析，数学期望
18、为36；总金额为7200元【解析】【分析】（1）计算，故服从正态分布，计算得到答案.（2）的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1），即由，则，而，故，则服从正态分布，（2）取值为18，36，54，72由题意知，所以的分布列为18365472，估算所需要抽奖红包的总金额为：（元）【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知函数，.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于0，求证：.【答案】（1）最大值（2）证明见解析【解析】【分析】对函数求导得，得到单调区间，分类讨论即可得最大值，的极大值恒小于0可得，从而得到的最大值，构造函数即可证明【详解】由已知，当时，当时，从而的单调递增区间是，单调递减区间是，从而，于是当时，所以当时，所以；综上所得依题意，则，因为存在极大值，则关于x的方程有两个不等的正根，不妨，则，则，且，设列设表如下：x0000单调递增极大值单调递减极小值单调递增从而，又，从而对恒成立，设，则，所以在上递增，从而，所以，设，则，又，若，若，从而，即【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题
