1、第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆练好题考点自测 1.下列说法正确的个数是()(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆;(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆;(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距);(4)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆;(5)x2a2+y2b2=1(ab0)与y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距相同.A.1B.2C.3D.42.2021山西运城高三调研在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22,过F1
2、的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为()A.x236+y218=1B.x216+y210=1C.x24+y22=1D.x216+y28=13.2018全国卷,12,5分已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.144.2021贵阳市摸底测试已知椭圆C:x24+y2=1的右焦点为F,点P在椭圆C上,O是坐标原点,若|OP|=|OF|,则OPF的面积是.5.2021成都市摸底测试已知点P在椭圆x2a2+y2
3、b2=1(ab0)上,F1是椭圆的左焦点,线段PF1的中点在圆x2+y2=a2-b2上.记直线PF1的斜率为k,若k1,则椭圆离心率的最小值为.6.递进型已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2=1(a1)的左、右焦点,点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则长轴长为;若P是椭圆上的一点,且|PF1|PF2|=43,则SF1PF2=.拓展变式1.(1)2020福建龙岩三校联考椭圆x225+y216=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,若F1PF2=60,则F1PF2的面积是()A.1633B.3233C.163D.323(2)并列型已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y25=1的左、右焦
4、点,P是C上一任意一点,则|PF1|PF2|的最大值为.若A(0,46),则|AP|-|PF2|的最小值为.2.(1)2019全国卷,12,5分文已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1(2)若椭圆经过两点(1,32)和(2,22),则椭圆的标准方程为.3. 如图10-1-2,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的离心率e=12,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则PFPA的最大
5、值为.图10-1-24. 2020全国卷,21,12分文已知椭圆C:x225+y2m2=1(0m0,n0,mn)可化为x21m+y21n=1,表示的曲线是椭圆,故(4)正确;对于(5),x2a2+y2b2=1(ab0)与y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距都是2a2-b2,故(5)正确.故选C.2.D设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由e2=c2a2=1-b2a2=12,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为x216+y28=1,故选D.3.D由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D 10-1-1所
6、示,PF1F2为等腰三角形,且F1F2P=120,|PF2|=|F1F2|=2c.|OF2|=c,点P的坐标为(c+2ccos 60,2csin 60),即P(2c,3c).点P在过点A且斜率为36的直线上,3c2c+a=36,解得ca=14,e=14,故选D.图D 10-1-14.12设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,则|OP|=|OF|=12|F1F|,所以PF1PF,所以SPFO=12SFPF1=12b2tan 4=1211=12.5.2-1如图D 10-1-2,设M为PF1的中点,F2为椭圆的右焦点,连接PF2,F2M,OM.因为O,M分别为F1F2,PF1的中点,所以|PF2|=2
7、c,则|PF1|=2a-2c,所以|F1M|=a-c,所以|F2M|=4c2-(a-c)2,k=tanMF1F2=4c2-(a-c)2a-c14c2-(a-c)2(a-c)2c2a2-2ace2+2e-10e-2+4+42=2-1,所以e的最小值为2-1.图D 10-1-26.2233由椭圆C:x2a2+y2=1(a1),知c=a2-1,所以F2(a2-1,0),点F2关于直线y=x的对称点Q(0,a2-1),由点Q在椭圆上得(a2-1)2=1,即a=2,则长轴长为22.所以椭圆方程为x22+y2=1,则|PF1|+|PF2|=2a=22,又|PF1|PF2|=43,所以cosF1PF2=|P
8、F1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-|F1F2|22|PF1|PF2|=8-83-483=12,所以sinF1PF2=32,则SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=124332=33.1.A(1)解法一(常规解法)由椭圆x225+y216=1的焦点为F1,F2知,|F1F2|=2c=6,在F1PF2中,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=10.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,即(2c)2
9、=m2+n2-2mncos 60,即36=(m+n)2-3mn=100-3mn,解得mn=643.故SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=12mnsin 60=1633.故选A.解法二(结论解法)依题意知b=4,由椭圆焦点三角形的相关结论,得SF1PF2=b2tan F1PF22=16tan 602=1633.故选A.(2)94由x29+y25=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF2|=6-|PF1|,于是|PF1|PF2|=|PF1|(6-|PF1|)=6|PF1|-|PF1|2.a-c|PF1|a+c,即1|PF1|5.当|PF1
10、|=3时,|PF1|PF2|取最大值,最大值为18-9=9.|AP|-|PF2|=|AP|-(2a-|PF1|)=|AP|+|PF1|-6.又|AP|+|PF1|AF1|(当且仅当P在线段AF1上时取等号),(|AP|-|PF2|)min=|AF1|-6= (0+2)2+(46-0)2-6=4.【方法技巧】关于|PF1|PF2|最大值的求解,还可以利用|PF1|PF2|(|PF1|+|PF2|2)2=9(当且仅当|PF1|=|PF2|=3时等号成立)进行求解.2.(1)B设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3
11、|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=a2,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=32a,|AF1|=a.解法一在ABF1中,由余弦定理得cosBAF1=|AB|2+|AF1|2-|BF1|22|AB|AF1|=(3a2)2+a2-(3a2)223a2a=13.因为椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|cosBAF1,即4=a2+a2-2a213,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.解法
12、二因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0,-b),因为AF2=2F2B,所以B(32,b2),代入椭圆方程得94a2+b24b2=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.(2)x24+y2=1解法一当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1 (ab0).椭圆经过两点(1,32),(2,22),1a2+34b2=1,2a2+12b2=1,解得a=2,b=1.所求椭圆的标准方程为x24+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为y2a2+x2b2=1 (ab0).椭
13、圆经过两点(1,32),(2,22),34a2+1b2=1,12a2+2b2=1,解得a=1,b=2.与ab矛盾,故舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.解法二设椭圆方程为mx2+ny2=1 (m0,n0,mn).椭圆过(1,32)和(2,22)两点,m+3n4=1,2m+n2=1,解得m=14,n=1.所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.3. 4 由题意知a=2,因为e=ca=12,所以c=1,b2=a2-c2=3.故椭圆方程为x24+y23=1.设P点坐标为(x0,y0),-2x02,-3y03.因为F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-
14、x0,-y0),x024+y023=1,所以PFPA=x02-x0-2+y02=14x02-x0+1=14(x0-2)2.则当x0=-2时,PFPA取得最大值4.4.(1)由题设可得25-m25=154,得m2=2516,所以C的方程为x225+y22516=1.(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),因为BPBQ,所以kBP=-1kBQ=-1yQ,所以直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=1+1kBP2|yB-yP|=yP1+yQ2,|BQ|=(6-5)2+(yQ-0)2=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以
15、yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52;|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为1213026130=52.综上,APQ的面积为52.【解题关键】解析几何问题解题的关键在于几何条件的转化与应用,本题中相等与垂直关系转化为坐标关系是整个问题的关键
16、环节.5.(1)把鱼群,A岛,B岛看成点,分别为M,A,B,则|MA|+|MB|=8,所以曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆.设曲线C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=4,b=42-22=23.所以曲线C的方程是x216+y212=1.(2)能确定P处位置,点P坐标为(2,3)或(2,-3).理由如下.由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为53,因此鱼群距A,B两岛的距离比为53,因为|PA|+|PB|=8,所以鱼群距A,B两岛的距离分别为5海里和3海里.设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得(x-2)2+y2=3,由(x-2)2+y2=9,x216+y212=1,-4x4,得x=2,y=3.所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3)
