1、专题01 数列求通项（法、法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：法：角度1：用，得到2题型二：法：角度2：将题意中的用替换4题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：5题型四：法：角度1：已知和的关系7题型五：法：角度2：已知和的关系8三、数列求通项（法、法）专项训练9一、必备秘籍1对于数列，前项和记为；- ：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度
2、2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.二、典型题型题型一：法：角度1：用，得到例题1（2023秋江苏高三校联考阶段练习）记是数列的前项和，已知，且.(1)记，求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，-得，因为，所以，所以数列的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，令代入，得，由，得，所以，所以数列是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为例题2（2023春河南南阳高二南阳中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1），当时，两式-得：，当时，不符合上式，所以；例题3（2023秋湖北高三校联考阶段练
3、习）已知等比数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以时，所以，所以，因为，又因为为等比数列，所以，所以，则等比数列首项为2，公比为3，所以例题4（2023秋江苏无锡高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以当时，两式相减，得到，整理得，又因为，所以，所以数列是公差为的等差数列当时，解得或，因为，所以，由（1）可知，即公差，所以；题型二：法：角度2：将题意中的用替换例题1（2023秋湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求；【答案】(1)【详解】（1）
4、，可得，可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，可得，由，可得；例题2（2023秋河北唐山高二校考期末）已知数列中，前项和为，若(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）若，由，可得，则数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即，当时，则例题3（2023秋云南昆明高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，其前n项和为，且（）(1)求；【答案】(1)【详解】（1），又，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故例题4（2023秋安徽滁州高三校考期末）记首项为的数列的前项和为，且当时，(1)证明：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当时，即，则，可得
5、，所以，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：例题1（2023春辽宁沈阳高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列满足：(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以时，得：，所以，又，不符合上式，故例题2（2023秋广东珠海高三校考开学考试）已知数列满足.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，得当时， 即，当时，则，即，当时，也满足上式，综上所述，；例题3（2023春黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考阶段练习）在数列中，.(1)求数列的通项；【答案】(1)；【详解】（1）由，得当时，两式相减得：，即，而，因此构成以为首项，3为公比的等
6、比数列，则当时，即，显然不满足上式，所以数列的通项.例题4（2023春福建厦门高二厦门外国语学校校考期末）已知数列为正项等比数列，数列满足，(1)求；【答案】(1)【详解】（1）令，当时，由，则；当时，由，则.由数列为正项等比数列，设其公比为，则，所以.题型四：法：角度1：已知和的关系例题1（2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1），当时，.当时，满足上式，.例题2（2022秋黑龙江大庆高三阶段练习）已知数列的前项积.(1)求的通项公式；【答案】(1)(1)解：（1）.当时，；当时，也符合.故的通项公式为.例题3（
7、2022秋黑龙江哈尔滨高三校考阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】解：（1）证明：，.，是等差数列.（2）由（1）可得，.时，；时，.而，均不满足上式.（）.题型五：法：角度2：已知和的关系例题1（2023福建泉州泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足(1)证明：数列为等差数列;【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当时，得，当时，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.例题2（2020春浙江温州高一校联考期中）设数列的前n项积（）（1）求数列的通项公式；【
8、答案】（1）；（2）详见解析【详解】（1）当时，又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，.例题3（2023秋江苏高二专题练习）已知数列的前n项之积为，且满足(1)求证：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由题意知：，数列是公差为3的等差数列；三、数列求通项（法、法）专项训练一、单选题1（2023秋江西高三统考开学考试）设为数列的前项积，若，且，当取得最小值时，（）A6B7C8D9【答案】A【详解】解：由题意得，又，所以，所以是公比为的等比数列.因为，所以，解得，所以，则，当时，因为，所以最小.故选：A.2（2023秋内蒙古包头高三统考开学考试）已知为数列的前项积，若，则数
9、列的前项和（）ABCD【答案】A【详解】因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3为首项，2为公差的等差数列；，故选：A3（2023春浙江宁波高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列的前项积为，若，则（）ABCD【答案】D【详解】设等比数列的公比为，当，则，所以，若，则，不符合题意；若，则单调（或为常数），此时不满足，故不符合题意，所以；当，此时奇数项为负，偶数项为正，则，不符合题意，当，此时奇数项为正，偶数项为负，则，不符合题意，所以，故A错误，又，又，所以，所以，故对任意的，则对任意的，故B错误；又，所以，所以，所以，故D正确，C错误故选：D4（2023秋江西宜
10、春高二校考开学考试）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（）ABC2D3【答案】C【详解】数列的前项积，当时，当时，时也适合上式，当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，故的最大值为，最小值为，的最大值与最小值之和为2.故选：C.二、填空题5（2023春河南南阳高二校考阶段练习）已知为数列的前n项积，且，则 【答案】【详解】当时，则；当时，则；注意到也符合上式，所以.故答案为：.三、解答题6（2023春湖南湘潭高二湘潭县一中校联考期末）设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，故时，两式相减得，又，所以，故，满足上式，故，且，所以为等比数列，且首项
11、为2，公比为3，从而.7（2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足(1)求数列的通项公式【答案】(1)【详解】（1），所以或， - 得是首项为3，公差为2得等差数列，；8（2023春山西朔州高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，又，所以，即.又数列是等比数列，所以，当时，解得，所以；9（2023春江西九江高二校考期末）记数列的前n项和为，已知，.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 又，所以， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，
12、所以.10（2023春重庆渝中高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列的前n项和为，满足：.(1)计算并求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，当时，解得（舍去），当时，由得，即，又，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；11（2023春浙江杭州高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，(1)求数列和的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）设等差数列公差为，则，整理得，解得，对于数列：当时，当时，由，得，两式相减得，当时，也满足上式，12（2023江西南昌江西师大附中校考三模）已知是数列的前项和，满足，且.(1)求；【答案】(1)【详解】（1）因为，显然，所以
13、，即，所以，所以，又当时，也满足，所以.13（2023春辽宁沈阳高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，当时，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为14（2023春江西宜春高二校联考期末）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且(1)求数列和的通项公式；【答案】(1)，；【详解】（1）当时，当时，两式相减，得，即，显然满足上式，因此，设公差为，则，即，解得，因此，所以数列和的通项公式分别为，.15（2023全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，.(
14、1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，当时，即，是首项为2，公差为1的等差数列，综上，16（2023春辽宁大连高二校联考期中）已知正项数列满足，前项和满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由可得，即，因为，所以，则，所以，又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，当时，当时，所以；17（2023天津河西天津市新华中学校考模拟预测）已知数列满足(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；【详解】（1），当时，即，当时，得，即，满足上式，数列的通项公式为；18（2023春广东佛山高二校考阶段练习）在数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1），当时，当时，所以，即（），又也适合，；（2）由（1）知，.19（2023秋广东茂名高二统考期末）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：因为，所以时，两式作差得，所以时，又时，得，符合上式，所以的通项公式为20（2021秋江西九江高二校考期中）为数列的前项和，为数列的前项积，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）当时，即，解得.当时，所以，所以，即是以，公差为2的等差数列.（2）因为的通项公式为，所以当时，当时，又因为，所以数列的通项公式为：.
