1、20222023 学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高三年级数学试题卷本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以
2、上要求作答无效。4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的答案写在答题卷上）1.已知集合lg1Axx，3Bx yx，则 AB（）A.0,1B.0,1C.0,10D.3,102.若复数 z 是方程2450 xx的一个根，则i z的虚部为（）A.2B.2C.1D.i3.已知角 的终边上一点 P 的坐标为2,3，则 tan6的值为（）A.0B.39 C.33 D.34.若等比数列 na满足121aa ，133aa ，则4a （）A.4B.4C.8D.8
3、5.几何原本第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点 F 在半圆O 上，且OFAB，点C 在直径 AB 上运动.作CDAB交半圆O 于点 D.设 ACa，BCb，则由FC CD可以直接证明的不等式为（）A.0,02abab ab B.22 20,0abab ab C.2220,02abababab D.220,02ababab6.芜湖市疾控中心呼吁：“接种疫苗可以有效降低重症风险，建议没有禁忌症，符合接种条件的人群，特别是老年人，应当尽快接种新冠疫苗，符合加强
4、接种条件的要尽快加强接种。”为部署进一步加快推进老年人新冠疫苗接种情况，某社区需从甲、乙等 5 名志愿者中选取 3 人到 3 个社区进行走访调查，每个社区 1 人，若甲、乙两人中至少 1 人入选，则不同的选派方法有（）A.12 种B.18 种C.36 种D.54 种7.已知D：222210 xyaxa，点3,0P，若D 上总存在 M，N 两点使得PMN为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.5,11,3 B.5,1,3 C.,21,D.2,11,8.定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f x满 足2fxfx，当0,1x时，21xf x，若 函 数 F xf xkx在2,2上恰有三个零点，则实数
5、 k 的取值范围是（）A.1,00,1B.ln 2,00,ln 2 C.1,ln 2ln 2,1 D.111,122 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是正确的.每题全部选对的得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.请把正确的答案写在答题卷上）9.已知m，n 为异面直线，直线l 与m，n 都垂直，则下列说法正确的是（）A.若l 平面，则m，nB.存在平面，使得l，m，nC.有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中m，nD.至多有一对互相垂直的平面 和 ，其中m，n10.已知 222,01 ln,0 xxxf xxx ，
6、若存在123xxx，使得123f xf xf xt，则下列结论正确的有（）A.实数t 的取值范围为1,2B.1e1x C.232xx D.12xx的取值范围为1,011.有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 6%，第 2，3 台加工的次品率均为 5%，加工出来的零件混放在一起.已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件iA “零件为第i 台车床加工”1,2,3i，事件 B “任取一零件为次品”，则（）A.10.25P AB.20.015P B A C.0.0525P B D.127P A B 12.已知椭圆 ：221
7、95xy 的左、右焦点为1F，2F，点4,2D，1,1E，P 为椭圆 上一动点，过点,00Q nn 的直线l 交椭圆于 M，N 两点，则下列说法正确的有（）A.若2PF 的垂直平分线过点1F，则11515PFk B.12PDPEPF的最小值为212C.若2n，则1MNF的面积的最大值为 203D.若1MNF的面积取最大值时的直线l 不唯一，则3 2,2n 三、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案写在答题卷上）13.已知向量1,2m ，1,12nb，若mn，则b 的值为_.14.函数 sin 2cosf xxax在0,上单调递增，则实数a 的取值范围是_.1
8、5.已知双曲线 M：222210,0 xyabab的左、右焦点为1F，2F，P 为双曲线 M 渐近线上一点.满足120PF PF，且直线1PF，2PF 的斜率之和为2 33，则双曲线 M 的离心率为_.16.如图，在三棱柱111ABCA B C中，点 E 是棱11B C 上一点，且112B EEC，过直线 AE 的一个平面与棱1CC交于 F，与棱11A B 交于 D，记截面 ADEF 的面积为 S，AEF的面积为1S，AED的面积为2S，则122SSS的取值范围是_.四、解答题（本大题共 6 题，共 70 分，第 17 题满分 10 分，其余大题每题满分 12 分，解答时每小题必须给出必要的演
9、算过程或推理步骤）17.在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知22 coscbaB（1）求角 A 的大小；（2）若 D 是 BC 边上的中点，且2AD，求ABC面积的最大值18.已知nS 是数列 na的前n 项和，21nnSna.且11a（1）求 na的通项公式；（2）设00a，已知数列 nb满足1sin1coscosnnnbaa，求 nb的前n 项的和nT19.某医院用 a，b 两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：未治愈治愈合计疗法a155267疗法b66369合计21115136（1）根据小概率值0.005 的独立性检验
10、，分析b 种疗法的效果是否比a 种疗法效果好；（2）为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于 a，b 两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有 6 位症状相同的确诊患者，平均分成A，B 两组，A 组用甲方案，B 组用乙方案.一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为1415，B 组 3 人康复的概率分别为 1920，910，910.若一个疗程后，每复 1 人积 2 分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？参考公式及数据：22n adbcabcdacbda0.050.0250.0100.0050.00
11、1ax3.8415.0246.6357.87910.828215 652 630.909267 69 21 115，215 63 52 60.035967 69 21 115，215 526 630.014567 69 21 115 20.五面体 ABCDEF 中，ADCF，2ADCF，4BEEF，2 2CA，3CFE（1）证明：ADBE；（2）给出 FDBE；CADE；平面 ABED 平面 ACFD.试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理，并求出平面 EFD 和平面 BCE夹角的余弦值.注：如果选择不同组合分别解答，则按照第一个解答计分.21.已知抛物线C：2
12、20ypx p的焦点为 F，过焦点 F 的直线l 与抛物线交于 A，B 两点，当直线l 的倾斜角为60 时，163AB（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：过焦点 F 且垂直于l 的直线与以 AB 为直径的圆的交点分别在定直线上.22.已知函数 214xxf xe，ln1g xax（1）证明：当1a 时，f xg x；（2）0 x 时，设 h xf xg x，讨论 h x 零点的个数2022-2023 学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高三年级数学试题参考答案一、单选题12345678CABCDDBC二、多选题9101112BCACDACDBCD三、填空题13.114.2,15.216.2
13、1,9 4四、解答题17.（1）由题可知2sinsin2sincosCBAB,且sinsinCAB，2cossinsin0ABB又ABC中，sin0B，1cos2A,解得3A（2）由题可知12ADABAC，222124ADABACAB AC即22212cos4ADABACAB ACA，又2AD 2216 3ABACAB ACAB AC,当且仅当 ABAC时等号成立163AB AC 14 3sin23SAB ACA18.（1）由已知得 12223aaa，即22a，2n 时，由21nnSna，112nnSna，两式相减得11nnnana，则1221122nnaaann ，又111a，于是nan为常
14、数列.得nan注：也可以利用等比型递推关系121nnannan，用累乘法求通项公式，请酌情赋分.（2）s i n1s i nc o s1c o ss i n1s i n 1t a nt a n1c o sc o s1c o sc o s1c o sc o s1nnnnnnnbnnnnnnnnt a n1t a nnn，tan0tan1tan1tan 2tan 2tan3tan1tannTnn tan n19.（1）零假设为0H：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异根据列联表中数据，经过计算得到220.00513615 63 52 64.8827.87967 69 21 115x根据小概率值0
15、.005 的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为两种疗法效果没有差异（2）设 A 组中服用甲种中药康复的人数为1X，则1143,15XB，所以114143 155E X，设 A 组的积分为2X，则212XX，所以212825.65E XE X，设 B 组中服用乙种中药康复的人数为1Y，则1Y 的可能取值为：0，1，2，3，1111102010102000P Y，11219111193712010102010102000P YC，112199119942322010102010102000P YC，11999153932010102000P Y，故1Y 的分布
16、列为：1Y0123P12000372000423200015392000所以 1137423153911012320002000200020004E Y ，设 B 组的积分为2Y，则212YY，所以 21111225.52E YEYE Y因为5.65.5，所以甲种联合治疗方案更好20.（1）证明：因为 ADCF，CF 面 BCFE，AD 面 BCFE，所以 AD面 BCFE.又因为 AD 面 ABED，面 ABED 面 BCFEBE，所以 ADBE（2）条件，结论由条件易知四边形 ACFD 是平行四边形，故CAFD，因为 FDBE，所以CABE，又CADE，BEDEE，所以CA 面 ABED，
17、而CA 面 ACFD，故平面 ABED 平面 ACFD.条件，结论证明：由条件易知四边形 ACFD 是平行四边形，故CAFD.由 FDBE，ADBE可得 FDAD.因为面 ABED 面 ACFD，面 ABED 面 ACFDAD，FD 面 ACFD所以 FD 面 ABED.而 ED 面 ABED，CAFD，故CADE下面求平面 EAC 和平面 PBD 夹角的余弦值：CFE中，由余弦定理可得2222cos123CECFEFCF EF，故2 3CE.又由2 2CA，CAAE，得2AE.由4EF，2 2FD，FDDE，得2 2DE.因为222ADAEDE，所以 DAAE.以 A 为原点，AD，AE，A
18、C 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.0,0,0A，4,2,0B，0,0,2 2C.易知1,0,0m 是平面 ACE 的一个法向量.设,nx y z是平面 ABC 的一个法向量由00n ABn AC ，得4202 20 xyz，取1x，得2y，故1,2,0n 15cos,55m nm nmn故平面 EAC 和平面 PBD 夹角的余弦值是5521.解：（1）当直线l 的倾斜角为 60时，设直线l 的方程为32pyx，联立方程2232ypxpyx得：2233504xpxp，1253pxx，1281633pABxxp，2p，抛物线C 的方程为24yx（2）设直线l 的方程为1xmy，
19、11,A x y，22,B xy，联立方程241yxxmy 得：2440ymy，124yym，124y y ，21212242xxm yym，1212116y yx x ，则以 AB 为直径的圆的方程为：12120 xxxxyyyy，即：22121212120 xxxxx xyyyyy y，代入得：22242430 xmxymy，过焦点 F 且垂直于l 的直线为：1ym x，联立方程222424301xmxymyym x 得：2222121310mxmxm即：2230 xx，解得：1x 或 3，所以过焦点 F 且垂直于l 的直线与以 AB 为直径的圆的交点分别在定直线1x 和3x 上.22.（
20、1）当1a 时，令 21 ln14xxxf xg xex 121xxxex，21121xxex当0 x 时，1xe ，当 10 x 时，2111x，0 x得 x在1,内单调递增，由 00，得当 10 x 时，0 x，x在1,0内单调递减，当0 x 时，0 x，x在0,内单调递增，00 x，即 f xg x（2）21ln14xxh xf xg xeax，当1a时，由0 x，得ln10 x，ln1ln1xax，由（1）可得 00h xx；当1a 时 21xxah xex，2121xahxex由0 x 得 0hx，h x在0,内单调递增由 010ha，110212121aaaaaah aeaaaa 00,xa，使得00h x，则当00 xx时，0h x，h x 在00,x内单调递减，当0 xx时，0h x，h x 在0,x 内单调递增，由 00h得 00h x，22222221ln 2141 210ahaeaaaaaaa ，00,2xa，使得 00h x，综上，当1a时 h x 在0,内无零点；当1a 时 h x 在0,内有一个零点；
