1、系列丛书 进入首页第三章 三角函数、解三角形第三章 三角函数、解三角形系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）第六节 正弦定理和余弦定理系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2Ra2_b2_c2_系列丛书 进入首页 第三章
2、 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）变形形式a_，b_，c_sinA_，sinB_，sinC_(其中 R 是ABC 外接圆半径)abc_asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA_；cosB_；cosC_系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）解决解斜三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）答案asinA bsinB c
3、sinC b2c22bccosA a2c22accosB a2b22abcosC 2RsinA 2RsinB 2RsinC a2R b2R c2RsinAsinBsinC b2c2a22bc a2c2b22ac a2b2c22ab系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）1(2016天津卷)在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC()A1 B2C3 D4系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）解析：设ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则a3，c 13，C120，由余弦定理得 139b2
4、3b，解得b1，即 AC1.答案：A系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）2(必修P10 习题 1.1B 组第 2 题改编)在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析：由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，代入得到 a2b2c2，由余弦定理得 cosCa2b2c22ab0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形答案：C系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）知识点二 在ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解
5、的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absinAbsinAabab解的个数_系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）答案一解 两解 一解 一解 无解系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）3在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定解析：bsinA24sin4512 218，bsinAab，故此三角形有两解答案：B系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A6，a
6、1，b 3，则 B_.解析：由正弦定理 asinA bsinB，代入可求得 sinB 32，故 B3或 B23.故答案为3或23.答案：3或23系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）知识点三 三角形常用面积公式1S12aha(ha 表示边 a 上的高)；2S12absinC_.答案2.12acsinB 12bcsinA系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）5在ABC 中，a3 2，b2 3，cosC13，则ABC 的面积为_解析：cosC13，sinC2 23，SABC12absinC123 22 32 23 4
7、3.答案：4 3系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）6(必修P20 习题 1.2A 组第 11 题改编)在ABC 中，A3，AB2，且ABC 的面积为 32，则边 BC 的长为_系列丛书 进入首页 第三章 三角函数、解三角形高三总复习 新课标版 数学（文）解析：因为 S12ABACsinA122ACsin3 32，所以 AC1.由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcosA，即 BC2221222112，解得 BC 3.答案：3第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第1课时 正弦定理、余弦定理第三章第六节第1课时
8、系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 正、余弦定理的简单应用【例 1】(1)(2016新课标全国卷)ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 cosA45，cosC 513，a1，则 b_.(2)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cosA23，则 b()A.2B.3C2 D3第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】(1)因为 cosA45，cosC 513，所以 sinA3
9、5，sinC1213，从而 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC35 5134512136365.由正弦定理 asinA bsinB，得 basinBsinA 2113.(2)由余弦定理，得 4b222bcosA5，整理得 3b28b30，解得 b3 或 b13(舍去)，故选 D.【答案】(1)2113(2)D第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角
10、形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)在ABC 中，a4，b5，c6，则sin2AsinC _.(2)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sinB12，C6，则 b_.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)由正弦定理得 sinAsinBsinCabc456，又由余弦定理知 cosAb2c2a22bc253616256
11、34，所以sin2AsinC 2sinAcosAsinC2sinAsinCcosA246341.(2)sinB12，B6或56.当 B56 时，有 BC，不符合，B6C，bcos6a2 32，b1.答案：(1)1(2)1第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点二判断三角形的形状【例 2】设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosCccosBasinA，则ABC 的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理：
12、得 sinBcosCcosBsinCsin2A，有 sin(BC)sin2A，从而 sin(BC)sinAsin2A，解得 sinA1.A2，故选 B.【答案】B第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1若将本例条件改为“2sinAcosBsinC”，试判断ABC 的形状第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：解法 1：由已知得 2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB，故ABC 为等腰三角形解法 2：由正弦定理得 2acosBc，再由余弦定理得2aa
13、2c2b22acca2b2ab.故ABC 为等腰三角形第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2若将本例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sinAcosBb22cosAsinBa2，即 a2cosAsinBb2sinAcosB.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）法 1：由正弦定理知 a2RsinA，b2RsinB，sin2AcosAsinBsin2Bs
14、inAcosB，又 sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.在ABC 中，02A2，02B2，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2.ABC 为等腰三角形或直角三角形第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）法 2：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0.a2b20 或 a2b2c20，即 ab 或 a2b2c2.ABC 为等腰三角形或直角三角形.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【
15、总结反思】(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别(2)判断三角形形状主要有以下两种途径：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系，进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2017成都模拟)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)s
16、inC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)由 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，结合正弦定理得，2a2(2bc)b(2cb)c 即 a2b2c2bc，cosAb2c2a22bc bc2bc12，A23.(2)对于已知 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，结合正弦定理，有 2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC，即 sin2Asin2Bsin2CsinBsinCsin223 34，又由 sinBsinC1，得 si
17、n2Bsin2C2sinBsinC1.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）所以 sinBsinC14.从而有 sinBsinC12.因为 0B，0C，0BC.所以 BC6，所以ABC 是等腰的钝角三角形第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三与面积有关的问题【例 3】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(acosBbcosA)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)由
18、已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故 2sinCcosCsinC.可得 cosC12，所以 C3.(2)由已知，12absinC3 32.又 C3，所以 ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】(1)对于面积公式 S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和
19、角的转化.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A4，b2a212c2.(1)求 tanC 的值；(2)若ABC 的面积为 3，求 b 的值解：(1)由 b2a212c2 及正弦定理得 sin2B1212sin2C，所以cos2Bsin2C.又由 A4，即 BC34，得cos2Bsin2C2sinCcosC，解得 tanC2.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)由 tanC2，C(0，)得 sinC2 55，cosC 55.又因为 sinBsin(AC)
20、sin4C，所以 sinB3 1010.由正弦定理得 c2 23 b，又因为 A4，SABC12bcsinA3，所以 bc6 2.故 b3.第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）正弦定理和余弦定理是解斜三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R 为ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理 ABC.利用公式 cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边第三章第六节第1课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 23（点击进入）
