1、3.1.2 空间向量的数乘运算目标定位重点难点1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律2.理解直线的方向向量，会用向量表示空间直线与平面3.理解共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线与四点共面问题重点：向量的数乘运算、共线及共面向量定理难点：空间直线、平面的向量表示式及其应用1空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积_仍然是一个_，称为向量的数乘运算(2)向量a与a的关系的范围方向关系模的关系0方向_a的模是a的模的_倍0a_，其方向是任意的0方向_a向量相同0相反|(3)空间向量的数乘运算律设，是实数，则有分配律：(ab)ab；结合律：(a)()a.2共线向量与共面向量向量
2、共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫作_或平行向量平行于_的向量叫作共面向量充要条件对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 使 ab若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb平行或重合共线向量同一个平面向量共线(平行)向量共面向量推论如果 l 为经过点 A且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP OA ta，其中 a 叫作直线 l的_，如图所示若在 l 上取ABa，则式可化为OP OA
3、tAB如图，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP _，或对空间任意一点 O 来说，有OP OM xMA yMB方向向量xMA yMB2下列命题中正确的是()A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B向量a，b，c共面即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若ab，则存在唯一的实数，使ab【答案】C【解析】A，若b为零向量，则a与c不一定共线；B，只需向量a，b，c所在的直线能够平移到同一平面，则a，b，c共面；D，还可能b为零向量A，B，D均不正确故选C.3满足下列条件，能说明空间不重合的 A，B，C 三点共线的是()A.ABBCACBABBCAC
4、C.ABBCD|AB|BC|【答案】C4在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若CAa，CBb，CC1 c，则A1B _.【答案】abc【解析】A1B A1C1 C1C CBCACC1 CBacb.空间向量的线性运算【例1】已知正四棱椎 PABCD，O 是正方形 ABCD的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y，z 的值.【解题探究】结合图形，利用三角形法则与平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.共线问题(1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的.(2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中
5、应用的前提，一定要熟练掌握.1.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.共线问题【例 2】设空间四点 O，A，B，P 满足OP mOA nOB，其中 mn1，则()A点 P 一定在直线 AB 上B点 P 一定不在直线 AB 上C点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上D.AB与AP的方向一定相同【解题探究】利用共线向量定理说明与的关系做判断【答案】A【解析】已知 mn1，则 m1n，OP(1n)OAnOB OA nOA nOB OP OA n(OBOA)APnAB.因为AB0，所以AP和AB共线，即点 A，P，B 共线故选 A.判断两个向量a，
6、b共线，就是寻求一个常数t，使atb.在解题时要充分运用空间向量的运算法则，可结合图形求解2已知 A，B，P 三点共线，O 为空间任意一点，OP OAOB，求 的值【解析】A，B，P 三点共线，由共线向量可知存在实数t，使APtAB.又APOP OA，ABOB OA，代入得OP(1t)OA tOB.又由已知OP OAOB，1t，t，1.共面问题【例 3】已知 A，B，M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否一定与 A，B，M共面？(1)OB OM 3OP OA；(2)OP 4OA OB OM.【解题探究】要证四点共面只须连接四个点的三个向量能够使其中一
7、个用另外两个唯一线性表示即可【解析】(方法一)(1)原式可变形为OP OM(OA OP)(OB OP)，即MP PAPB.由共面向量定理，知 P 与 A，B，M 共面(2)原式可变形为OP OA OB OA OM OA OA，即APABAM OA.假设点 P 与 A，B，M 共面，设APABAMAQ，则点 Q 与 P，A，B，M 共面，而点 O 在平面 ABM 外，故AQ OA 不可能成立所以假设不成立，即点 P 与 A，B，M不共面(方法二)(1)原式可变形为OB 3OP OA OM.3(1)(1)1，B 与 P，A，M 共面，即 P 与 A，B，M 共面(2)OP 4OA OB OM，4(
8、1)(1)21，P 与 A，B，M 不共面判断点 P 是否位于平面 MAB 内，关键是看向量MP 能否用MA，MB 表示(或看向量OP 是否能写成OM xMA yMB 的形式)当OP xOM yOA zOB 时，P 与 M，A，B 共面的充要条件是 xyz1.3已知平行四边形 ABCD(如图)，从平面 ABCD 外一点 O引向量OE kOA，OF kOB，OG kOC，OH kOD，求证：(1)E，F，G，H 四点共面；(2)平面 EFGH平面 ABCD.【证明】(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以ACABAD，EG OG OEkOC kOAkACk(ABAD)k(OB OA OD
9、OA)OF OEOH OEEFEH.所以 E，F，G，H 共面(2)EFOF OE k(OB OA)kAB，由(1)知EG kAC，于是 EFAB，EGAC.所以平面 EFGH平面 ABCD.忽略零向量致误【示例】对空间任意两个向量a，b，ab是ab(R)的_条件【错解】充要【错因分析】忽视了b0这一条件若ab且b0，a0，则推不出ab；若ab，则ab.所以ab是ab的必要不充分条件【正解】必要不充分【警示】零向量与任意非零向量均共线，因此在求解共线问题时，不能忽略对零向量的考察1应用向量的加减法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，应熟练掌握2利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练地
10、进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件1已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，设 M，G 分别是 BC，CD 的中点，则MG ABAD 等于()A.32DBB3MGC3GMD2MG【答案】B【解析】MG ABAD MG BD MG 2MG 3MG.故选 B.【答案】B【解析】根据共面向量及共线向量定理，知正确当a，b共线或M，A，B共线时，错误故选B.2有下列命题：若 pxayb，则 p 与 a,b 共面；若p 与 a，b 共面，则 pxayb；若MP xMA yMB，则 P，M，A，B 四点共面；若 P，M，A，B 四点共面，则MP xMAyMB.其中正确的有()A1 个B2 个C3 个D4 个3已知空间向量 a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【答案】A【解析】BD BCCD 2a4b2AB，A，B，D 三点共线4(多空题)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O1 为上底面A1B1C1D1 的中心，若AO1 AA1 xAByAD，则 x_，y_.【答案】12 12【解析】画出图形易得AO1 AA1 A1O1，又A1O1 12A1C1 12AC12(ABAD)，故 xy12.
