1、3.5.2简单线性规划学习目标：1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数(重点)2.理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题(重点、难点)3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系(易混点)自 主 预 习探 新 知1线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数
2、的最大值或最小值问题2.线性目标函数的最值线性目标函数zaxby(b0)对应的斜截式直线方程是yx，它表示斜率为，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小.跟踪训练1已知x，y满足约束条件求z3x5y的最大值和最小值解由不等式组作出可行域，如图所示目标函数为z3x5y，作直线l：3x5y0.平移直线l，在可行域内以经过点A的直线l1所对应的z最大类似地，在可行域内，以经过点B(2，1)的直线l2所对
3、应的z最小zmax3517，zmin3(2)5(1)11.非线性目标函数的最值问题已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围. 【导学号：12232346】解(1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故|MN|.|MN|22，z的最小值为.(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，kQA，kQB，z的取值范围是.规律方法1.利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界
4、上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确.2.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，zx2y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)z|AxByC|可转化为点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍.跟踪训练2如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，求|PQ|的最小值解画出不等式组所表示的平面区域，x2(y2)21所表示的曲线为以(0，2)为圆心，1为半径的一个圆如图所示，只有当点P在点A，点Q在点B(0
5、，1)时，|PQ|取得最小值为.利用线性规划解决实际问题探究问题某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元1设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？提示2若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？提示根据公司所获利润投资项目甲获得的利润投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z0.4x0.6y.3x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？提示x，y必须在线性约束条件下取
6、值x，y取不同的值，直接影响z的取值某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小. 【导学号：12232347】思路探究可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解解设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，由题意可得所用原料的总面积为z3x2y，作出可行域如图在一组平行直线z3x2y中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2xy5和直线x2y4的
7、交点(2,1)，最优解为x2，y1.使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小 规律方法解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解解这个纯数学的线性规划问题.(4)作答就应用题提出的问题作出回答.跟踪训练3某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利
8、润，甲、乙两种货物应各托运多少箱货物每箱体积/m3每箱重量/kg每箱利润/百元甲5220乙4510托运能力限制数2413解设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，由题意得z20x10y，作出可行域如图所示，作直线l：20x10y0，当直线z20x10y经过可行域上的点A时，z最大，又A(4.8,0)不是整点，解方程组得点B(4,1)为整点所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润当 堂 达 标固 双 基1zxy在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为() 【导学号：12232348】A(0,1)B(1，1)C(1,0)DC可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1时，z1；当x1，y
9、1时，z0；当x1，y0时，z1；当x，y时，z0.排除选项A，B，D，故选C.2已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()A3B1C5D6C由约束条件作出可行域如图：由zx2y得yx，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线yx过直线x1和xy1的交点A(1，2)时，z最小，最小值为5，故选C.3已知实数x，y满足则目标函数zx2y的最小值是_. 【导学号：12232349】9不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示目标函数可化为yxz，作直线yx及其平行线，知当此直线经过点A时，z的值最大，即z的值最小又A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为3269.4已知点P(x，y)的坐标满足条件
10、点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_点P(x，y)满足的可行域为ABC区域，A(1，1)，C(1,3)由图可得，|PO|min|AO|；|PO|max|CO|.5某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元？ 【导学号：12232350】解设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，由题意得z200x300y.作出如图所示的可行域令z0，得l0：2x3y0，平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值又由得A点坐标为(4,5)所以zmin420053002 300.答：该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2 300元
