1、章末综合测评(三)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面四个推理不是合情推理的是()A由圆的性质类比推出球的有关性质B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，归纳出所有三角形的内角和都是180C某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理【答案】C2用反证
2、法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线则正确的序号顺序为()ABCD【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为.【答案】B3下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】
3、由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A假设a，b，c都小于0B假设a，b，c都大于0C假设a，b，c中都不大于0D假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5下面给出了四个类比推理a，b为实数，若a2b20则ab0；类比推出：z1，z2为复数，若zz0，则z1z20；若数列an是等差数列，bn(a1a2a3an)，则数列bn也是等差数列；类比推出：若数列cn是各项都为正数的等比数列，dn，则
4、数列dn也是等比数列；若a，b，cR，则(ab)ca(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(ab)ca(bc)；若圆的半径为a，则圆的面积为a2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为ab.上述四个推理中，结论正确的是()ABCD【解析】在复数集C中，若z1，z2C，zz0，则可能z11且z2i，故错误；在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；若圆的半径为a，则圆的面积为a2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面
5、积为ab，正确【答案】D6将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A1B2C3D4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误故选B.【答案】B7已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b4b5b6b7b8b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a3a929Ca1a2a3a929Da1a2a3a929【解析】根
6、据等差、等比数列的特征知，a1a2a929.【答案】D8袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一
7、样多，和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上，选B.【答案】B9在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n0，则lg ；(2)22.【证明】(1)当a，b0时，有，lglg，lg lg ab.(2)要证22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立18(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230cos260sin 30cos 60，sin220cos250sin 20cos 50，sin215cos245sin 15c
8、os 45.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明【解】猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin22sin sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.19(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.(1)求证：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面
9、所成的二面角之间的关系式，并予以证明【解】(1)证明：因为PMBB1，PNBB1，又PMPNP，所以BB1平面PMN，所以BB1MN.又CC1BB1，所以CC1MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos .其中为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角证明如下：因为CC1平面PMN，所以上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中，因为PM2PN2MN22PNMNcosMNP，所以PM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP，由于SBCC1B1PNCC1，SACC1A1MNCC
10、1，SABB1A1PMBB1PMCC1，所以S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos .20(本小题满分12分)如图4，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：图4(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以D
11、EF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.21(本小题满分12分)在数列an中，a11，a2，且an1(n2)(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；(2)设bn， 求证：对任意的nN，都有b1b2bn.【解】(1)容易求得：a3，a4.故可以猜想an，nN.下面利用数学归纳法加以证明：显然当n1,2,3,4时，结论成立，假设当nk(k4，kN)时，结论也成立，即ak.那么当nk1时，由题设与归纳假设可知：ak1.即当nk1时，结论也成立，综上，对任意nN，
12、an成立(2)证明：bn()，所以b1b2bn(1)()()()(1)，所以只需要证明(1)13n13n2102(显然成立)，所以对任意的nN，都有b1b2bn0). 【导学号：67720022】(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有0，此时f(x)0；当x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又f0，故x1.当nN*时，因为f(n)f(n1)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当n1时，；当n2时，(41)；当n3时，.综上所述，对一切nN*，.
