1、上海中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试2021.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.角度大小为7弧度的角是第_象限角2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合_.3.函数的定义域是_.4.若角的始边落在轴正半轴，终边落在直线上，则_.5.已知角，且满足：，则角为_.6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是_.7.在中，则的面积为_.8.函数的单调递减区间为_.9.已知正六边形，若，则用，表示为_.10.已知，则_.11.已
2、知函数，满足：，且时，则当时，的最小值为_.12.在锐角三角形中，若，则的最小值是_.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.命题：“角小于”是命题：“角是第一象限角”的（ ）条件.A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要14.若，的化简结果是（ ）.A. B. C. D.15.现给出以下4个命题：（1）对于任意的向量，都有；（2）已知向量，若且，则；（3）已知三个非零向量，则与不垂直；（4）已知向量，则是“，中至少有一个是”的充要条件.其中正确的个数是（
3、 ）A.3 B.2 C.1 D.016.2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图，平面上有两定点，两动点，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为.设函数，其中，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（ ） 图图 A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分）已知，两个向量，
4、求在方向上的投影与数量投影.18.（本题满分8分）已知的数（1）有解时，求实数的取值范围；（2）当时，总有，求定的取值范围.19.（本题满分10分）在中，角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.20.（本题满分10分）数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内.（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变.）（1）如图，（米），在移动家具时，为顺利过门
5、，家具的两个边，紧贴，设直线和直线的夹角为，家具的初始位置对应，与重合时可视为移动成功，延长交于点，设（米），请写出关于的函数（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由.21.（本题满分12分）对于函数，如果存在一组正常数，（其中为正整数），满足）使得当取任意实数时，有，则称函数具有“性质”.（1）判断以下函数是否具有“性质”，并说明理由：函数函数，对任意实数均成立；（2）证明：具有性质；（3）设函数，其中，是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.答案及其解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得
6、5分，否则一律得零分.1.【答案】：一【解析】，所以第一象限2.【答案】：【解析】：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为3.【答案】：【解析】：由得，定义域是4.【答案】：【解析】：由已知得，终边落在直线上，5.【答案】：，【解析】：由已知得，又因为，所以，6.【答案】：【解析】：设正三角形边长为，外接圆的半径为，则，7.【答案】：或【解析】：由已知得，或16，所以或8.【答案】：【解析】：由题意得，所以，所以9.【答案】：【解析】：10.【答案】：1【解析】：由切化弦得，再由积化和差，11.【答案】：【解析】：由迭代递推得当时，故的最小值当时，故的最小值为，综上所述，当时，的最小值为.
7、12.【答案】：16【解析】：由已知得，.：.所以，又因为所以所以，当且仅当时取到等号.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.【答案】：D【解析】：取，左推不出右，取，右推不出左，故选D14.【答案】：A【解析】：由，得，故选A.15.【答案】：C【解析】：对于（1）对于任意的向量，都有，所以（1）错误；对于（2）已知向量，若且，只要保证和方向上的数量投影相等即可，故（2）错误；对于（3）：，垂直，故（3）错误；对于（4）：或，故（4）正确，故选C16.【答案】：B【解析】：
8、本题比较抽象，考虑特殊情况.先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，要满足，故排除A，C；再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除D，故选B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分）【答案】：见解析【解析】：由题意得，；则在方向上的投影：在方向上的数量投影：18.（本题满分8分）【答案】：见解析【解析】：（1）由已知得，所以（2）由已知得恒成立，则所以实数的取值范围为19.（本题满分10分）【答案】：见解析【解析】：（1），所以，（2）由已知得，20.（本题满分10分）【答案】：见解析【解析】：，（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内，则要求外抛角点到一边门框厚度的距离，设点距离所在直线距离为：（当且仅当），所以能移动成功.21.（本题满分12分）【解析】：（1）由已知得，所以具有“性质”；由已知得，得，易知对任意，所以具有“性质”；（2）单位圆的性质，易令满足，证明如下：（3）本题难度较大，对其进行分类讨论：若，此时取即可；若，采取反证法，若不存在，使得，则恒成立，又，再由恒成立，故，进而，与，是不全为0矛盾；故存在，使得.若，由，得，命题成立.
