1、第一课统计案例核心速填1线性回归方程对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，其中(，)称为样本点的中心2线性回归模型为ybxae，其中e为随机误差3残差iyii.4刻画回归效果的方法(1)残差平方和法残差平方和(yi)2越小，模型拟合效果越好(2)残差图法残差图形成的带状区域的宽度越窄，模型拟合效果越好(3)相关指数R2法R2越接近1，模型拟合效果越好5K2公式K2，其中nabcd.题型探究线性回归分析某城市理论预测2014年到2018年人口总数与年份的关系如表所示：年份201x(年)01234人口数y
2、(十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程x；(3)据此估计2022年该市人口总数. 【导学号：48662025】解(1)散点图如图：(2)因为2，10，051728311419132，021222324230，所以3.2，3.6.所以线性回归方程为3.2x3.6.(3)令x8，则3.283.629.2，故估计2020年该城市人口总数为29.2(十万)规律方法解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.(2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二
3、乘法求回归系数，然后写出回归方程.(3)回归分析.画残差图或计算R2，进行残差分析.(4)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题.跟踪训练1在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x(元)1416182022y(件)1210753且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏解(1416182022)18，(1210753)7.4，1421621822022221 660，122102725232327，iyi14121610187205223620，所以1.15，所以7.41.151828.1，所以y对x的线性回归方程为1.15x28.1
4、，列出残差表为yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4所以(yii)20.3，(yi)253.2，R210.994.所以R20.994，拟合效果较好.独立性检验户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性5女性10总计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)求该公司男、女员工各多少人；(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关
5、？并说明你的理由下面的临界值表仅供参考：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2，其中nabcd) 【导学号：48662026】解(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性20525女性101525总计302050(2)该公司男员工人数为2550650325(人)，则女员工有325人(3)K2的观测值k8.3337.879，所以在犯错误的
6、概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关规律方法独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性.(2)K2统计量法：通过公式先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论.跟踪训练2研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断解建立性别与态度的22列联表如下：肯定否定总计男生228
7、8110女生223860总计44126170根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为0.2，女生中作肯定态度的频率为0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系根据列联表中的数据得到K2的观测值k5.6225.024.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系转化与化归思想某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：x123510203050100200y10.155.524.0
8、82.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系如有，求出y对x的回归方程思路探究：令z，使问题转化为z与y的关系，然后用回归分析的方法，求z与y的回归方程，进而得出x与y的回归方程解把置换为z，则有z，从而z与y的数据为z10.50.3330.20.10.050.0330.020.010.005y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可作出散点图(图略)，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合(10.50.3330.20.10.050.033
9、0.020.010.005)0.225 1，(10.155.524.081.15)3.14，120.520.33320.0120.00521.415，iyi110.150.55.520.0051.1515.221 02，所以8.976，3.148.9760.225 11.120，所以所求的z与y的回归方程为8.976z1.120.又因为z，所以1.120.规律方法非线性回归方程转化为线性回归问题求解步骤.(1)确定变量，作出散点图.(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程.(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残
10、差图来判断拟合效果.(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程.跟踪训练3在某化学试验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量x/min123456y/mg39.832.225.420.316.213.3(1)设y与x之间具有关系ycdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1). 【导学号：48662027】解(1)在ycdx两边取自然对数，令ln yz，ln ca，lndb，则zabx.由已知数据，得x123456y39.832.225.420.316.213.3z3.6843.4723.2353.0112.7852.588由公式得3.905 5，0.221 9，则线性回归方程为3.905 50.221 9x.而ln c3.905 5，lnD0.221 9，故c49.675，d0.801，所以c，d的估计值分别为49.675和0.801.(2)当x10时，由(1)所得公式可得y5.4(mg)所以，化学反应进行到10 min时未转化物质的质量约为5.4 mg.
