1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第1讲 空间几何体中的计算问题 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 立体几何中的计算主要考查空间几何体与三视图相结合的几何体的表面积和体积，是历年高考的必考内容，在选择题、填空题或解答题中均有考查 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 1.(2015陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3B.4C.24D.34真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为：S2121212212222443.答案 D
2、 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.(2015浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A.8 cm3B.12 cm3C.323 cm3D.403 cm3a真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成，VV 正方体V 四棱锥8383323(cm3).故选 C.答案 C 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五
3、尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛 D.66斛 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积 V1314R2h3209(立方尺).所以堆放的米大约为32091.6222(斛).答案 B 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高
4、为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析 设新的底面半径为 r，由题意得13r24r2813524228，解得 r 7.答案 7 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形直观图的面积是原图形面积的 24 倍.3.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等.4.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥
5、体、台体的侧面积公式；S 柱侧ch(c 为底面周长，h 为高)；S 锥侧12ch(c 为底面周长，h为斜高)；真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华S 台侧12(cc)h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高)；S 球表4R2(R 为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V 柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥体13Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 球43R3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】(2015安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()热点一 以三视图为载体的几何体的表面积与体积的计算 微题型1 以三视图为载体
6、求几何体的表面积真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华A.1 3B.12 2C.2 3D.2 2解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.其表面积 S 表212212 34(2)22 3，故选 C.答案 C 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高(1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 以三视图为载体求几何体的体积【例
7、 12】(1)(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)(2015郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.（4）33B.（4）32C.（4）36D.(4)3真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)如图，由题意知，该几何体是正方体 ABCDA1B1C1D1被过三点 A、B1、D1 的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥 AA1B1D1，设正方体的棱长为 1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1
8、 111 11A A B DB C DABCDVV1 111 1 111 11AA B DA B C DABCDA A B DVVV131212113131212115.选 D.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)由该几何体的三视图，可知该几何体是由底面半径为 1、高为 3、母线长为 2 的半圆锥，和底面为等腰三角形(底边长为 2、高为 2)、高为 3的三棱锥拼成的一个组合体.所以此组合体的体积为131212 3131222 3（4）36.答案(1)D(2)C 探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体
9、之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型3 与球有关的体积问题【例 13】(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点.若三棱锥 OABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为()A.36 B.64C.144 D.256 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 如图，要使三棱锥 OABC 即 COAB 的体积最大，当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离，即三棱锥 COAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为球 O 的半径 R，则
10、 VOABC 最大VCOAB 最大13SOABR1312R2R16R336，所以 R6，得 S 球 O4R2462144.选 C.答案 C 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方
11、程(组)求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】(1)(2015北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.2C.3D.2真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)(2015天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)四棱锥的直观图如图所示，PC平面 ABCD，PC1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA 121212 3.(2)由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为 1，圆锥的高为 1，圆柱的高为
12、 2，因此该几何体的体积 V21312112283.答案(1)C(2)83真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 21】如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若 AB2，AC 3，BC 7，问 AA1 为何值时，三棱柱 ABCA1B1C1 体积最大，并求此最大值.热点二 多面体与旋转体的体积计算 微题型1 多面体的体积计算 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 由 AA1BC 知 BB1BC，又 BB1A1B，故 BB1平面 BCA1，即 BB1A1C，又 BB1CC1，所以 A1CCC1.(2)解
13、法一 设 AA1x，在 RtA1BB1 中，A1B A1B21BB21 4x2.同理，A1C A1C21CC21 3 x2.在A1BC 中，cos BA1CA1B2A1C2BC22A1BA1Cx2（4x2）（3x2），真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华sin BA1C127x2（4x2）（3x2），所以1A BCS12A1BA1Csin BA1C 127x22.从而三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 VS 直l1A BCSAA1x 127x22，因 x 127x2 12x27x47（x267）2367，故当 x67 427，即 AA1 427 时，体积 V 取到最大值3 77.真
14、题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 如图，过 A1 作 BC 的垂线，垂足为 D，连接 AD.由 AA1BC，A1DBC，故 BC平面 AA1D，BCAD，又BAC90，所以 SABC12ADBC12ABAC，所以 AD2 217.设 AA1x，在 RtAA1D 中，A1D AD2AA21127 x2，1A BCS12A1DBC 127x22.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华从而三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 VS直l1A BCSAA1x 127x22.因 x 127x2 12x27x47（x267）2367，故当 x67 427，即 AA1 427 时，体
15、积 V 取到最大值3 77.探究提高 有关多面体的体积计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 旋转体的体积计算【例 22】(2015山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2 23B.4 23C.2 2D.4 2真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 如图，设等腰直角三角形为ABC，C90，ACCB2，则 AB2 2.设 D 为 AB 中点，则 BDADCD 2.所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积 V213(2)2
16、24 23.答案 B 探究提高 有关旋转体的体积计算，首先要弄清楚旋转后的几何体的特征，再运用公式求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】(1)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.(2)如图所示，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，E，F 分别是 AC，PC 的中点，PA2，AB1，则三棱锥 CPED 的体积为_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)设棱锥的高为 h，则 V13S 底h136 34 22h2 3，h1，由勾股定理知，侧棱长为 221 5，六棱锥六个侧面全等，且侧面三
17、角形的高为（5）2122，S 侧1222612.(2)PA平面 ABCD，PA 是三棱锥 PCED 的高，PA2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华ABCD 是正方形，E 是 AC 的中点，CED 是等腰直角三角形.AB1，故 CEED 22，SCED12CEED12 22 22 14.故 VCPEDVPCED13SCEDPA1314216.答案(1)12(2)16真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为 a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为 32 a，a2，22 a.3.锥体体积公式为 V13Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉13
