1、福建省三明市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上1若圆C的圆心为（2，1），且经过原点O，则圆C的标准方程是（）A（x2）2+（y1）2=B（x2）2+（y1）2=5C（x+2）2+（y+1）2=D（x+2）2+（y+1）2=52设数列an的前n项和Sn=，则a5=（）A3B4C5D63下列结论正确的是（）A若acbc，则abB若a2b2，则abC若ab，cd，则acbdD若ab0，则ab4圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的
2、公切线条数（）A1条B2条C3条D4条5设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A2B3C4D56在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=10，b=8，B=30，那么ABC的解的情况是（）A无解B一解C两解D一解或两解7一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积是（）A64B76C88D1128已知直线3x+4y5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么弦AB的长等于（）A3B2CD19设Sn=，且Sn=，则n的值为（）A4B5C6D710已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，现给出下列命题：若m，
3、n，m，n，则； 若，m，则m；若m，m，则； 若mn，m，则n其中正确命题的个数是（）A0B1C2D311若直线2x+3y1=0与直线4x+my+11=0平行，则它们之间的距离为（）ABCD12如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy在此斜坐标平面xOy中，点P（x，y）的坐标定义如下：过点P作两坐标轴的平行线，分别交两轴于M、N两点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为（）Ax2+y2+xy1=0Bx2+y2+xy+1=0Cx2+y2xy1=0Dx2+y2xy+1=0二、填空题：本大题共
4、4小题，每小题3分，共12分在答题卷相应题目的答题区域内作答13已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=，则角A=14在空间直角坐标系Oxyz中，已知P1（2，4，6），点P（1，3，5）关于平面xOy对称的点为P2，则|P1P2|=15设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的体积为16对于任意xR，令x为不大于x的最大整数，则函数f（x）=x称为高斯函数或取整函数若数列an满足（nN+），且数列an的前n项和为Sn，则S4n等于三、解答题：本大题共6小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤在答题卷相应题目的答题区域内作答17设等差数列
5、an的前n项和为Sn，且a3=2，S6=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2an，求数列bn的前n项和Tn18已知函数f（x）=mx2（m2+1）x+m（mR）（）当m=2时，解关于x的不等式f（x）0；（）当m0时，解关于x的不等式f（x）019已知直线l：y=（1m）x+m（mR）（）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最小值及此时直线l的方程20如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，侧面PAB是边长为3的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且
6、PM=2MB，AN=2NC（）求证：ADPB；（）求证：MN平面PAD；（）求点N到平面PAD的距离21在平面直角坐标系xOy中，过点A（0，1）作斜率为k的直线l，若直线l与以C为圆心的圆x2+y24x+3=0有两个不同的交点P和Q（）求k的取值范围；（）是否存在实数k，使得向量与向量=（2，1）共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由22如图，已知ABC是边长为4的正三角形，D是BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的点，且EDF=，设BDE=（）试将线段DF的长表示为的函数；（）设DEF的面积为S，求S=f（）的解析式，并求f（）的最小值；（）若将折线BEEDDFFC绕直线BC旋
7、转一周得到空间几何体，试问：该几何体的体积是否有最小值？若有，求出它的最小值；若没有，请说明理由福建省三明市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上1若圆C的圆心为（2，1），且经过原点O，则圆C的标准方程是（）A（x2）2+（y1）2=B（x2）2+（y1）2=5C（x+2）2+（y+1）2=D（x+2）2+（y+1）2=5考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：求出圆的半径，即可得到结论解答：解：圆C的圆心为（2，1），且经过原点O，半径R=，则
8、圆C的标准方程是（x2）2+（y1）2=5，故选：B点评：本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件求出半径是解决本题的关键2设数列an的前n项和Sn=，则a5=（）A3B4C5D6考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：通过an+1=Sn+1Sn可知当n2时an+1=n+1，验证当n=1时亦成立，进而可得结论解答：解：Sn=，Sn+1=，an+1=Sn+1Sn=n+1，又a1=S1=1满足上式，an=n，a5=5，故选：C点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题3下列结论正确的是（）A若acbc，则abB若a2b2，则abC若ab，cd，则acbdD若ab0，则ab考点
9、：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案是否一定成立，可得答案解答：解：若acbc，c0，则ab，故A错误；若a2b2，则|a|b|，但ab不一定成立，故B错误；若a0b，0cd，则acbd，故C错误；若ab0，则a=b=，故D正确；故选：D点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键4圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的公切线条数（）A1条B2条C3条D4条考点：两圆的公切线条数及方程的确定 专题：直线与圆分析：判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数解答：解：圆O1：
10、x2+y22x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O2：x2+y24y=0的圆心（0，2）半径为2，O1O2=，1，两个圆相交，所以圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的公切线条数：2故选：B点评：本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条5设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A2B3C4D5考点：简单线性规划的应用 专题：计算题分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值解答：解：满足约束条件的可行域如图
11、，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=10，b=8，B=30，那么ABC的解的情况是（）A无解B一解C两解D一解或两解考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由题意街上可得asinBba，可得三角形解得个数解答：解：asinB=10=5，5810，即asinBba，ABC有两解故选：C点评：本题考查正弦定理判断三角形解得个数，属基础题7一个多面体的三视图
12、如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积是（）A64B76C88D112考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，求出底面周长和高，代入柱体表面积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，其底面周长C=6+2=16，其底面面积S=64=12，高h=4，故几何体的表面积S=212+164=88，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8已知直线3x+4y5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么弦A
13、B的长等于（）A3B2CD1考点：点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质 专题：直线与圆；空间位置关系与距离分析：解：利用圆的方程确定其圆心与半径，求得圆心到直线的距离，再由勾股定理确定相应的弦长解答：解：由已知，圆x2+y2=4的圆心坐标为O（0，0），半径r=2则圆心O（0，0）到直线3x+4y5=0的距离为=1弦长AB=2=2=2故选：B点评：本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式等知识，属于基础题9设Sn=，且Sn=，则n的值为（）A4B5C6D7考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由于=，利用“裂项求和”即可得出解答：解：=，Sn=+=1，由Sn=，解得n=7故选
14、：D点评：本题考查了“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，现给出下列命题：若m，n，m，n，则； 若，m，则m；若m，m，则； 若mn，m，则n其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用线面平行、面面垂直线面垂直的性质定理和判定定理对四个难题分别分析解答解答：解：对于，若m，n，m，n，根据面面平行的判定定理，如果直线m，n不相交，那么与不一定平行；故错误； 对于，若，m，则m与位置关系不确定；故错误；对于，若m，m，根据线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定
15、理可得；故正确； 对于，若mn，m，则n或者n；故错误故选B点评：本题考查了线面平行、面面垂直线面垂直的性质定理和判定定理的运用，考查学生的空间想象能力；熟练运用定理是关键11若直线2x+3y1=0与直线4x+my+11=0平行，则它们之间的距离为（）ABCD考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：由平行关系可得m的值，再由平行线间的距离公式可得答案解答：解：直线2x+3y1=0与直线4x+my+11=0平行，2m=43，解得m=6，直线2x+3y1=0可化为4x+6y2=0，由平行线间的距离公式可得d=故选：A点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公
16、式，属基础题12如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy在此斜坐标平面xOy中，点P（x，y）的坐标定义如下：过点P作两坐标轴的平行线，分别交两轴于M、N两点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为（）Ax2+y2+xy1=0Bx2+y2+xy+1=0Cx2+y2xy1=0Dx2+y2xy+1=0考点：圆的一般方程 专题：直线与圆分析：过P作PAx，PBy，设P（x，y）在直角坐标系下的坐标为P（x0，y0），建立P（x0，y0）与P（x，y）的坐标关系即可得到结论解答：解：过P作PAx，PB
17、y，设P（x，y）在直角坐标系下的坐标为P（x0，y0），BON=30，ON=y，OB=y，BN=，即y0=y，x0=x+，P（x0，y0）在单位圆x2+y2=1上，x02+y02=1，即（y）2+（x+）2=1，整理得x2+y2+xy1=0，故选：A点评：本题主要考查与直角坐标系有关的新定义问题，根据条件求出P（x0，y0）与P（x，y）的坐标关系是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分在答题卷相应题目的答题区域内作答13已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=，则角A=45考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由余弦定理可得cosA的值，可得A值解答：
18、解：ABC中a=，由余弦定理可得cosA=A=45故答案为：45点评：本题考查余弦定理，属基础题14在空间直角坐标系Oxyz中，已知P1（2，4，6），点P（1，3，5）关于平面xOy对称的点为P2，则|P1P2|=考点：空间两点间的距离公式 专题：空间位置关系与距离分析：先求出点P关于坐标平面的对称点，进而即可求出向量的坐标及模解答：解：点P（1，3，5）关于xoy平面的对称点P2（1，3，5），=（1，1，1），|P1P2|=故答案为：点评：本题考查空间点当坐标的表示，空间距离的求法，熟练掌握向量的模的求法是解题的关键15设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球
19、的体积为考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的体积解答：解：长方体的体对角线的长是：=球的半径是：这个球的体积：（）3=故答案为：点评：本题考查球的内接体，球的体积，考查空间想象能力，是基础题16对于任意xR，令x为不大于x的最大整数，则函数f（x）=x称为高斯函数或取整函数若数列an满足（nN+），且数列an的前n项和为Sn，则S4n等于2n2n考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：数列an满足=，可得a4n3=n1，同理可得a4n2=n1，a4n1=n1，a4n=n即可得出S4n解答：解：数列an满足=，
20、a4n3=n1，同理可得a4n2=n1，a4n1=n1，a4n=nS4n=（a1+a2+a3+a4）+（a4+1+a4+2+a4+3+a4+4）+（a4n3+a4n2+a4n1+a4n）=（03+1）+（13+2）+（23+3）+（n1）3+n=+=2n2n故答案为：2n2n点评：本题考查了新定义高斯函数、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤在答题卷相应题目的答题区域内作答17设等差数列an的前n项和为Sn，且a3=2，S6=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2an，求数列bn的前n项和T
21、n考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）通过计算可知首项和公差，进而可得结论；（）通过an=n1可知bn=2n1，进而计算即得结论解答：解：（）因为数列an是等差数列，设其公差为d，由题设可知，解得，an=a1+（n1）d=0+（n1）=n1；（）an=n1，bn=2an=2n1，即数列bn是首项为1、公比为2的等比数列，Tn=2n1点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18已知函数f（x）=mx2（m2+1）x+m（mR）（）当m=2时，解关于x的不等式f（x）0；（）当m0时，解关于x的不等式f（x）0考点：一
22、元二次不等式的解法 专题：分类讨论分析：（）把m=2代入已知不等式，通过解一元二次不等式2x25x+20可以得到f（x）0的解集；（）需要分类讨论：由题意得到不等式mx2（m2+1）x+m0的解集，对该不等式整理得到：（xm）（x）0，分m0，0m1，m1三种情况来解答解答：解：（）当m=2时，不等式f（x）0可化为2x25x+20，即（2x1）（x2）0，解得x2，所以不等式f（x）0的解集为x|x2（）当m0时，不等式可化为mx2（m2+1）x+m0，即x2（m+）x+10，则（xm）（x）0，当0m1时，1，则不等式的解集为x|xm，或x；当m=1时，不等式化为（x1）0，此时不等式解集
23、为x|x1；当m1时，01，则不等式的解集为x|x或xm点评：本题考查了一元二次不等式的解法 一元二次不等式解法与求一元二次方程的根相似，大体上有十字相乘法，配方法，万能公式法本题采用了十字相乘法19已知直线l：y=（1m）x+m（mR）（）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最小值及此时直线l的方程考点：直线的倾斜角；基本不等式在最值问题中的应用 专题：直线与圆分析：（）由直线的斜率和倾斜角的范围可得m的不等式，解不等式可得；（）由题意可得点B（0，m）和点A（，0），可得S=|OA|OB|=（m1）+2，由基
24、本不等式求最值可得解答：解：（）由已知直线l斜率k=1m，倾斜角，由k=tan可得1k，11m，解得1m0；（）在直线l：y=（1m）x+m中，令x=0可得y=m，点B（0，m）；令y=0可得x=，点A（，0），由题设可知m1，AOB面积S=|OA|OB|=m=（m1）+22+2=2，当且仅当（m1）=即m=2时S取得最小值2，此时直线l的方程为：x+y2=0点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及基本不等式求最值，属中档题20如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，侧面PAB是边长为3的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，
25、AN=2NC（）求证：ADPB；（）求证：MN平面PAD；（）求点N到平面PAD的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）证明AD平面PAB，即可证明：ADPB；（）过M作MSBA交PA于点S，过N作NTCD交AD于点T，连接ST，证明MNTS是平行四边形，可得MNST，即可证明MN平面PAD；（）点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离解答：（）证明：侧面PAB底面ABCD，且平面PAB与平面ABCD的交线为AB，ADAB，AD平面ABCD，AD平面PAB，PB平面PAB，ADPB （）证明：过M作MSBA交PA于点S，过N作N
26、TCD交AD于点T，连接ST，PM=2MB，MS=BA，同理可得NT=CD=BA，MSNT，MS=NT，MNTS是平行四边形，MNST，又ST平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD（）解：MN平面PAD，点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，在平面PAB内过M作MHPA于H，AD平面PAB，ADMH，MH平面PAD，MH是点M到平面PAD的距离，在RtPMH中，PM=2，MPH=，点N到平面PAD的距离为点评：本题考查平面与平面垂直的性质、直线与平面垂直、平行的判定，考查点到平面距离的计算，属于中档题21在平面直角坐标系xOy中，过点A（0，1）作斜率为k的直线l，若直线l与以C
27、为圆心的圆x2+y24x+3=0有两个不同的交点P和Q（）求k的取值范围；（）是否存在实数k，使得向量与向量=（2，1）共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用 专题：平面向量及应用；直线与圆分析：（）直线l的斜率存在，设其方程为：y=kx+1，代入圆的方程，得到二次方程，运用判别式大于0，可得k的范围；（）存在，实数k=，理由：求得向量CP，CQ的坐标，结合向量共线的坐标表示，以及韦达定理，可得k的值解答：解：（）直线l的斜率存在，设其方程为：y=kx+1，圆的方程：x2+y24x+3=0，联立并消元得（1+k2）x2+（2k4）x+4=0，设两个交点的坐标
28、分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，由直线与圆有两个不同的交点可知=（2k4）216（1+k2）0，解不等式得k0 （）存在，实数k=，理由如下：由（）假设可得=（x12，y1），=（x22，y2），所以+=（x1+x24，y1+y2），又=（2，1），由向量+与共线可知x1+x24+2（y1+y2）=0，（）而y1=kx1+1，y2=kx2+1，得y1+y2=k（x1+x2）+2，代入（）式化简得（1+2k）（x1+x2）=0，从而得到=0，解得k=或k=2（舍去），所以存在k=满足题意点评：本题考查直线和圆的位置关系：相交，同时考查向量共线的坐
29、标表示，考查化简运算能力，属于中档题22如图，已知ABC是边长为4的正三角形，D是BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的点，且EDF=，设BDE=（）试将线段DF的长表示为的函数；（）设DEF的面积为S，求S=f（）的解析式，并求f（）的最小值；（）若将折线BEEDDFFC绕直线BC旋转一周得到空间几何体，试问：该几何体的体积是否有最小值？若有，求出它的最小值；若没有，请说明理由考点：函数解析式的求解及常用方法；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：解三角形分析：（）根据正弦定理求出即可；（）根据正弦定理求出DE，表示出三角形的面积，结合角的范围，从而求出三角形的最小值；（）先求出组合体的体积，根据
30、基本不等式的性质，解出答案解答：解：（）在DFC中，FDC=，C=，DFC=，由正弦定理：=，得=，即DF=（），（）在BDE中，BED=，B=，BDE=，由正弦定理：=，得：DE=，S=DEDFsin=，（，），2（，），当2=，即=时，Smin=；（）存在，最小值为4，理由如下：该几何体是由四个圆锥构成的组合体，过E点作EMBD于M点，则EM=EDsin，过F点作FNDC于N点，则FN=DFsin（），EMFN=sinsin（）=3，则组合体的体积V=EM2BD+FN2DC=（EM2+FN2），所以V2EMFN=4，当且仅当EM=FN时取“=”，所以所得几何体的体积有最小值为4点评：本题考查了解三角形问题，考查函数最值问题，考查基本不等式的性质的应用，是一道中档题
