1、4.3.3 等比数列的前n项和一、等比数列的前n项和公式已知量首项与公比首项，末项与公比公式二、等比数列前n项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，则上式可写成的形式，则是的一次函数。三、等比数列前n项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.2、若等比数列的前n项和为，则，成等比数列（其中，均不为0）3、若一个非常数列的前n项和，
2、则数列为等比数列。四、等比数列前n项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。题型一 等比数列前n项和与基本量【例1】等比数列的前项和为，若，则为（ ）A1或9 B1 C9 D3【答案】A【解析】设等比数列的首项为，公比为，易知，则由题意可知，解得或，所以或.故选：A.【变式1-1】已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则（ ）A18 B34 C66 D130【答案】B【解析】，整理得
3、，解得q2，故选:B【变式1-2】已知正项等比数列前项和为，且，则等比数列的公比为（ ）A B2 C D3【答案】A【解析】因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：故选：A【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，且，则_.【答案】【解析】因为是等比数列，所以有，所以，所以，因为，所以，即，即：，解得：.故答案为：.【变式1-4】设等比数列的前n项和为（1）若公比，求n；（2）若，求公比q【答案】（1）6；（2）1或【解析】（1）依题意，由于，所以两式相除得，.（2）依题意，即，解得或.题型二 等比数列片段和性质及应用【例2】已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的
4、前10项和为（ ）A B C12 D15【答案】C【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列，又，故可得，即，解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C【变式2-1】等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a32，S69S3，则S9（ ）A50 B100 C146 D128【答案】C【解析】根据题意：S3a1+a2+a32，S69S318，则S6S318216，根据等比数列的性质可知，S3，S6S3，S9S6构成等比数列，故，即S9S6128，故S9S6+128146，故选：C【变式2-2】等比数列的前n项和为，已知，则（ ）A B C D【答案】B【解析】因为且为等比数列，故为
5、等比数列，故，解得，故选：B.【变式2-3】设等比数列的前n项和为，若，则（ ）A B C5 D7【答案】C【解析】由题知：显然即，解得或（舍）所以，故选：C【变式2-4】（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（ ）A， B，C， D，【答案】BD【解析】设数列的公比为，对于A和C，都有首项，当时，不满足等比数列，故AC错误；对于B，且，同理，故数列，为等比数列，B正确；对于D，且，故数列，为等比数列，D正确；故选：BD题型三 等比数列奇偶项和的性质应用【例3】已知等比数列an的公比为，则的值是_.【答案】【解析】等比数列an的公比为，则.故答案为：【变式3-1】已知等比
6、数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为_【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，又，则，因此，.故答案为：.【变式3-2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，因为，可得，因此，.故选：C.【变式3-3】在数列中，若，则（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由题意得，即，所以当为奇数时，；当为偶数时，；设的前n项和为，则，.若为奇数，则为
7、3的倍数，不是的倍数，不合题意；当为偶数，则，即，所以.故选：B【变式3-4】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_【答案】10【解析】设等比数列项数为项，公比为，则，由，解得，因为是公比为的等比数列，则 ，即，解得，故答案为:10.题型四 等比数列前n项和的其他性质【例4】设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（ ）数列具有单调性； 数列有最小值为；前n项和Sn有最小值 前n项和Sn有最大值A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】由，有.当时，有，解得，此时数列是每一项都是正数的单调递增数列，所以其前n项和Sn没有最大值，故不正确
8、；当时，有，解得或.当时，数列是摆动数列，不具有单调性，故可知、不正确.当，时，故前n项和Sn无最小值，故可知不正确.故选：A【变式4-1】（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）A BC的最大值为 D的最大值为【答案】AD【解析】因为，所以，所以，故A正确.，故B错误；因为，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，所以的最大值为，故D正确.故选：AD【变式4-2】已知等比数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值
9、，所以，解得，故选：D【变式4-3】已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（ ）ABC，成等比数列D“”是“，成等差数列”的充要条件【答案】C【解析】对于选项A，因为，又等比数列的公比为，所以所以，即，故A正确；因为，所以，故B正确；当时，此时，不能成等比数列，故C错误；若，成等差数列，则，所以，即，所以，所以“”是“，成等差数列”的充要条件，故D正确.题型五 等比数列中Sn与an的关系【例5】若一个等比数列的前n项和为（，），则（ ）Abc0 Bac0 Cabc0 Dabc【答案】B【解析】设这个等比数列为，由的前n项和为，令，得；当时，因为为等比数列，所以，所以，化简得，即.
10、故选：B.【变式5-1】在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】若，则，又，显然不满足条件，所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，当时，即，当时，所以又，所以，解得故选：D【变式5-2】已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【答案】A【解析】由，可得两式相减得，即从第3项起，每一项是前一项的q倍.又由，可得则数列从第2项起，每一项是前一项的q倍. 综上，当时，数列是等比数列.由数列是等比数列，可得则，即成立.则“数列是等比数列”为“”的充分不必
11、要条件故选：B【变式5-3】已知数列的前项和为，其中，成等差数列，且，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由已知，则，是等比数列又，故选：B题型六 等比数列前n项和的实际应用【例6】有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，所以第26天屠的肉的两数为，所以最后5天屠的肉的总两数为.故选：C【变
12、式6-1】九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺.问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ）A B C D【答案】A【解析】设第天织布的尺数为，则是公比为2的等比数列，所以，解得，所以.故选：A【变式6-2】中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三
13、天走了（ ）A192里 B96里 C48里 D24里【答案】C【解析】由题意得此人每天走的步数构成公比为的等比数列，且该数列的前7项和为378，设该等比数列为，则有，解得，则，即第三天走了48里.故选：C.【变式6-3】芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时
14、，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟”试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）A11.111米 B11.11米 C19.99米 D111.1米【答案】A【解析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且所以乌龟的爬行距离(米).故选：A【变式6-4】在庄子天下中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点、，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点、，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，记第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，第个正方形的面积为，则前个正方形的面积之和为_【答案】【解析】设第个正方形的边长为，由题意可得，且，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，前个正方形的面积之和为.故答案为：.
