1、课时作业(五十一)1已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1、F2，b4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为()A10B12C16 D20答案D解析如图，由椭圆的定义知ABF2的周长为4a，又e，即ca，a2c2a2b216，a5，ABF2的周长为20.2椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是()A. B.C2 D4答案A解析长轴长为2a，短轴长为2，4.m.3(2012衡水调研)椭圆1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析由d1d22a4c，
2、e.4已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为()A. B.C. D.答案B解析由题意，得F1(，0)，F2(，0)设M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23. 又因为点M在椭圆上，故y21，即y21. 将代入，得x22，解得x.故点M到y轴的距离为.5设e是椭圆1的离心率，且e(，1)，则实数k的取值范围是()A(0,3) B(3，)C(0,3)(，) D(0,2)答案C解析当k4时，c，由条件知；当0k4时，c，由条件知1，解得0kb0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案D解析由0，
3、得PF2F2为直角三角形，由tanPF1F2，设|PF2|s，则|PF1|2s，又|PF2|2|PF1|24c2(c)，即4c25s2，cs，而|PF2|PF1|2a3s，a.离心率e，故选D.7已知椭圆1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当的最小值时|取值为()A0 B3C4 D5答案B解析由已知得a2，b，c1，所以F2(1,0)，A1(2,0)，设P(x，y)，则(1x，y)(2x，y)(1x)(2x)y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y23x2，代入上式，得x2x1(x2)2，又x2,2，x2时，取得最小值所以P(2,0)，求得|3.8已知点M(，0)，椭圆y21
4、与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为_答案8解析直线yk(x)过定点N(，0)，而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a428.9已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(1)，则此椭圆方程是_答案1解析由题意，得解得所以椭圆方程为1.10已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆1上一动点，求|MA|MB|的最大值为_答案102解析显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(4,0)，连BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|MB|取得最大值的点事实上，对于椭圆上的任意点M有：|MA|MB|2
5、a|MA1|MB|2a|A1B|(当M1与M重合时取等号)，|MA|MB|的最大值为2a|A1B|25102.11(2012烟台调研)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为_答案2解析如图，不妨设|F1F2|1，直线MF2的倾斜角为120，MF2F160.|MF2|2，|MF1|，2a|MF1|MF2|2，2c|F1F2|1.e2.12已知椭圆C：1(ab0)，直线l为圆O：x2y2b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则e的大小为_答案解析如图所示，设直线
6、l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意，知OCD为直角三角形，且OCb，ODa，ODC，CDc(c为椭圆的半焦距)，椭圆的离心率ecos.13如下图所示：已知圆C：(x1)2y28，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足2，0，点N的轨迹为曲线E，求曲线E的方程答案y21解析2，0，NP为AM的垂直平分线，|NA|NM|，又|CN|NM|2，|CN|NA|22.动点N的轨迹为以点C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且2a2，2c2，a，c1.曲线E的方程为y21.14(2012沧州七校联考)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴
7、长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围答案(1)1(2)1m4解析(1)由题意知解之得椭圆方程为1.(2)设P(x0，y0)，且1，|2(x0m)2yx2mx0m212(1)x2mx0m212(x04m)23m212|2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m，由题意知，当x04时，|2最小，4m4，m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上，1m4.1椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点则|ON|等于()A2 B4C8 D.答案B解析|ON|MF2|(2a|MF1|)(
8、102)4，故选B.2方程为1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若32，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案D解析设点D(0，b)，则(c，b)，(a，b)，(c，b)，由32得3ca2c，即a5c，故e.3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_答案1解析设椭圆方程为1(ab0)，根据椭圆定义，有2a12，即a6.又，得c3，故b2a2c236279，故所求椭圆方程为1.4设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若PF2F1为等腰直角
9、三角形，则椭圆的离心率为_答案1解析数形结合：令|F1F2|1，则|PF2|1，|PF1|.e1.5(2011上海春季高考)若点O和点F分别为椭圆y21的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2|PF|2的最小值为_答案2解析由题意可知，O(0,0)，F(1,0)，设P(cos，sin)，则|OP|2|PF|22cos2sin2(cos1)2sin22cos22cos32(cos)22，所以当cos时，|OP|2|PF|2取得最小值2.6从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b2,4b2，则这一椭圆离心率e的取值范围是_答案，思路先求椭圆内接矩
10、形的最大面积，然后根据这个范围建立关于a，b，c的不等式解析设椭圆方程为1(ab0)，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)，根据对称性，知该矩形的面积为S4xy4ab()()2ab()2()22ab，即划出的矩形的最大面积是2ab.根据已知，得3b22ab4b2，即a2b，即，故e，1椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析P(x0，y0)(cx0，y0)，(cx0，y0)，xc2yxc2b2(1)(1)xb2c2xb2c2，x0a，a，的最大值为a2b2
11、c2b2，c2b23c2，e2，即e.2若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为()A1 B.C2 D2答案D解析三角形的面积S2cbbc1，a2b2c22bc2.a.2a2.选D.3设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值解析易知a2，b1，c，所以F1(，0)，F2(，0)设P(x，y)，则(x，y)(x，y)x2y23x213(3x28)因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时， 有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.4如下图，椭圆1内有一点P(1，1)，F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一
12、动点M，求|MP|MF|的最值解析设椭圆的另一个焦点为F，由椭圆定义及基本几何不等式得：|MP|MF|MP|4|MF|4|MP|MF|4|PF|44，当M，P，F共线且F在线段MP上时取等号即(|MP|MF|)max4，又|MP|MF|MP|4|MF|4(|MF|MP|)4|PF|.当F，P，M三点且点P在线段MF上时取等号即(|MP|MF|)min4.5.如图所示，已知OFQ的面积为S，且1.(1)若S2，求向量与的夹角的正切值的取值范围(2)设|c(c2)，Sc，若以O为中心、F为焦点的椭圆经过Q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程解析(1)由已知，得tan2S.S2，1tanb0)，Q(x
13、，y)cyc，y.又c(xc)1，xc.则|(c2)可以证明：当c2时，函数tc为增函数，当c2时，|min，此时Q(，)将Q的坐标代入椭圆方程，得解得椭圆方程为1.6.如图，从椭圆1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A与短轴端点B的连线ABOM.(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任一点，F2的右焦点，F1是左焦点，求F1QF2的取值范围；(3)设Q是椭圆上任一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解析(1)MF1x轴，xMc.代入椭圆方程，得yM，kOM.又kAB且OMAB，.故bc，从而e.(2)设|QF1|r1，|QF2|r2，F1QF2.r1r22a，|F1F2|2c，cos1110.(当且仅当r1r2时，等号成立)0cos1，故0，(3)bc，ac，设椭圆方程为1.PQAB，kAB，kPQ，直线PQ的方程为y(xc)联立可得5x28cx2c20，|PQ|.又点F1到PQ的距离dc，SF1PQd|PQ|ccc2.由c220，得c225，故2c250.所求椭圆方程为1.高考资源网w w 高 考 资源 网
