1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型【自主预习】主题：三类不同增长的函数模型 观察函数y=x2，y=2x，y=log2x在区间(0，+)上的图象，思考以下几个问题：(1)三个函数在区间(0，+)上的图象有什么特点？提示：三个函数在区间(0，+)上的图象都是上升的，即单调递增.(2)当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y=2x增长速度最快，y=log2x增长速度最慢.试着完成下面的填空：函数 性质y=2xy=log2xy=x2在(0，+)上的增减性_增长速度_越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与_“
2、平行”随x增大逐渐表现为与_“平行”在(0，+)上，随x的增大，图象平稳上升增函数 增函数 增函数 越来越快 y轴 x轴 由此得到y=ax(a1)，y=logax(a1)，y=xn(n0)不同增长情况的什么结论？文字语言描述：y=ax的增长是“爆炸式的”.y=logax的增长越来越慢.y=xn的增长比较平稳.结论：尽管它们在(0，+)上都是增函数，但增长速度不在一个档次上，在(0，+)上总存在一个x0，当xx0时logaxxnax.【深度思考】结合教材P97例2，你认为应怎样建立适当的函数模型解决实际问题？第一步：_.第二步：_.第三步：_.选取合适的函数模型 验证模型的拟合程度 解决问题并作
3、答【预习小测】1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.y=ex B.y=lnx C.y=x2 D.y=e-x【解析】选A.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x足够大时，函数y=ex的增长速度最快.2.已知增函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为()1334A.y2 x B.y4x 1C.ylogx 1 D.yx(x0)【解析】选B.由于过(1，2)点，排除C，D；由图象与直线y=4无限接近，但到达不了，即y lgx B.2xlgx C.2xlgx D.lgx 2x 12x12x12x12x【解析】选A.结合y=2x，y=及y=lgx的图象易知当 x(0，1)时，2x l
4、gx.12x12x5.某地发生冰冻灾害.各地纷纷捐款捐物.甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给灾区，捐款方式如下：甲公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司，在10天内，第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番.你觉得哪个公司最慷慨？【解析】三个公司在10天内捐款情况如表所示：由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司最慷慨.6.某工厂今年1，2，3月分别生产产品1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的
5、关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c，如果已知4月份产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？(仿照教材P97例2解析过程)【解析】设f(x)=px2+qx+r(p0).由f(1)=1，f(2)=1.2，f(3)=1.3，有 解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7.所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.所以f(4)=1.3.设g(x)=abx+c.由g(1)=1，g(2)=1.2，g(3)=1.3，pqr1,4p2qr1.2,9p3qr1.3,有 解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.所以g(x)=-0.80.5x+1.4.所以g(4)
6、=1.35.因为|1.3-1.37|=0.070.02=|1.35-1.37|，所以用y=-0.80.5x+1.4即y=abx+c作模拟函数较好.23abc1abc1.2abc1.3 ，【互动探究】1.一般情况下，函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)在区间(0，+)上增长速度怎样？提示：y=ax(a1)中y随x的增长速度越来越快，y=logax(a1)中y随x的增长会越来越慢，y=xn(n0)中y随x的增长速度相对比较平稳.2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么？提示：依据是自变量每改变一个单位，函数值增长量的大小.增长量越大，增长速度越快.【探究总结】知识归纳：方法
7、总结：(1)在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.(2)在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.【题型探究】类型一：几类函数模型增长差异的比较【典例1】四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i1，2，3，4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个？为什么？【解题指南】根据不同增长函数模型的增长特
8、点来判断.【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x.【规律总结】三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型：表达式为f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a0)，当b1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0b0)，当a1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0a0)，其增长情况由a和 的取值确定，常见的有二次函数模型.【巩固训练】下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.y=ex B.y=100ln
9、x C.y=x100 D.y=1002x 1100【解析】选A.指数函数呈爆炸式增长，又e2，所以 ex比1002x增大速度快.1100类型二：几类函数模型的应用【典例2】(1)(2016成都高一检测)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断符合这组数据的最恰当的函数模型是()x45678910y13151719212325A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型(2)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y
10、=100 x B.y=50 x2-50 x+100 C.y=502x D.y=100log2x+100【解题指南】(1)自变量变化相等的量，函数值增长量是相同的，它们之间是一次函数关系.(2)根据函数值的增长差异进行判断.【解析】(1)选A.根据所给数据，x每增加1个单位，y增加2个单位，故用一次函数来表示.(2)选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型.【规律总结】建立函数模型要遵循的原则(1)简化原则 建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则 建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且
11、能推演出正确结果.(3)反映性原则 建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【拓展延伸】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.(2)建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.(3)数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【巩固训练】一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 分钟，该病毒占据64MB内存(1MB=210KB).【解析】设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则22n=64210=216，所以n=15，故时间为153=45(分钟).答案：45
