1、第19课时空间两点间的距离 教学过程一、 问题情境建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式,你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗?二、 数学建构问题1在平面上任意两点A (x1, y1), B (x2, y2)之间的距离的公式是什么?AB=,那么对于空间中任意两点A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2)之间的距离的公式会是怎样呢?问题2空间中任意两点A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2)之间的距离的公式会是怎样?你能猜想吗?(引导学生去进行类比猜想,充分发挥学生的联想能力)(图1)问题3空间中任意一点P (x, y, z)到原点之间的距离公式会是怎样呢
2、?如何证明?(为了验证一下同学们的猜想,我们来看比较特殊的情况,引导学生用勾股定理来完成)OP=.问题4在上面的问题中,如果OP是定长r,那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形?(注意引导类比平面直角坐标系中,方程x2 + y2 = r2表示的图形,让学生有种回归感)在平面直角坐标系中,方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,半径为r的圆,将此推广到空间,得出x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,半径为r的球面.(图2)问题5空间中任意两点P1 (x1, y1, z1)、 P2 (x2, y2, z2)之间的距离公式怎样证明呢?(引导学生利用由特殊到一般的思想方法推到空间两点之间的
3、距离)经过探究,得出空间两点之间的距离公式:P1P2=空间两点P1(x1, y1, z1)、 P2(x2, y2, z2)间的距离反映在立体几何中,实质上是以P1、 P2作为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长,其中此长方体的长为,宽为,高为.问题6空间中两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的线段P1P2的中点坐标是什么?平面直角坐标系中两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的线段P1P2的中点坐标是什么?类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式推广到空间直角坐标系中.即如果P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2),则两点的中点P
4、的坐标为, , .三、 数学应用【例1】(教材P121例1)求空间两点P1(3, -2, 5), P2(6, 0, -1)间的距离P1P2.处理建议根据空间两点间的距离公式,直接带入公式计算即可.规范板书解P1P2=7.题后反思求空间两点间的距离时,正确地带入公式,特别注意各个坐标的符号.变式已知A(x, 2, 3)、 B(5, 4, 7),且AB=6,求x的值.处理建议本题已知AB两点之间的距离,要求A点坐标中未知的横坐标,只需带入空间两点间距离公式,寻找关于x的方程,解方程即得.解AB=6, =6,即(x-5)2=16.解得x=1或x=9. x=1或x=9.题后反思求字母的值,常利用方程的
5、思想,通过解方程或方程组求解.【例2】已知三点 A(1, 3, 2), B(-2, 0, 4), C(-8, -6, 8),证明:A, B, C三点在同一直线上.处理建议让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题只需利用空间两点间距离公式算出AB , BC, AC,证明AB+BC=AC即可.规范板书解利用两点间距离公式,得AB=, BC=2, AC=3,所以AB+BC=AC,所以A, B, C三点在同一直线上.题后反思利用平面中常用的证明方法是证明三点共线的有效手段.变式试判断以A(4, 1, 9), B(10, -1, 6), C(2, 4, 3)为顶点的三角形ABC的几何特性.处理
6、建议要判断三角形的形状,可以从三角形的边上入手,通过计算三角形的三边长,从中寻找解题突破口.解 AB=7,BC=7,AC=7, AB2+AC2=BC2且AB=AC. 三角形ABC是等腰直角三角形.【例3】讨论方程(x+2)2+(y-6)2+(z-1)2=16的几何意义.处理建议方程的左边可看作空间两点间距离的平方,构造点P(x, y, z),定点M(-2, 6, 1),和平面解析几何中的圆的方程进行类比即得.规范板书解因为(x+2)2+(y-6)2+(z-1)2=16,所以=4.即动点P(x, y, z)到定点M(-2, 6, 1)的距离等于4,所以(x+2)2+(y-6)2+(z-1)2=1
7、6表示动点P的轨迹:一个半径为4,球心为M(-2, 6, 1)的球面.题后反思几何图形能代数化,用方程表示;代数方程也有一定的几何意义,在解题时要注意数形结合.变式点P在坐标平面xOy内,A点的坐标为(-1, 2, 4),问满足条件PA=5的点P的轨迹是什么?处理建议因点P一方面在坐标平面xOy内,另一方面满足条件PA=5,即点P在球面上,故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线.解设点P的坐标为(x, y, z). 点P在坐标平面xOy内, z=0, PA=5, =5,即(x+1)2+(y-2)2+(z-4)2=25, 点P在以点A为球心,半径为5的球面上, 点P的轨迹是坐标平面xOy与以点
8、A为球心,半径为5的球面的交线,即在坐标平面xOy内的圆,且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影A(-1, 2, 0). 点A到坐标平面xOy的距离为4,球面半径为5, 在坐标平面xOy内的圆A的半径为3. 点P的轨迹是圆(x+1)2+(y-2)2=9, z=0.题后反思对于空间直角坐标系中的轨迹问题,可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决.四、 课堂练习1. 已知点A(-2, 4, -1), B(4, -6, 7),求AB的距离和AB中点的坐标.答案AB=10,中点的坐标为(1, -1, 3).2. 已知A(2, 5, -6),在y轴上求一点B,使得AB=7.提示注意y轴上点的
9、坐标的特点.答案B(0, 2, 0)或B(0, 8, 0).3. 试解释方程(x-8)2+(y+4)2+(z-3)2=36的几何意义.答案方程表示点P(x, y, z)与点C(8, -4, 3)的距离为6,即点P在以点C为球心,半径为6的球面上.4. 点P在坐标平面xOz内,A点的坐标为(1, 3, -2),问满足条件PA=5的点P的轨迹方程.提示因点P一方面在坐标平面xOz内,另一方面满足条件PA=5,即点P在球面上,故点P的轨迹是坐标平面xOz与球面的交线.答案点P的轨迹方程是(x-1)2+(z+2)2=16, y=0.五、 课堂小结1. 空间中两点间的距离公式及其推导.2. 球面方程.3. 空间中两点间距离公式的简单应用.4. 数学思想与方法:培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯;体会由特殊到一般解决问题的思维方法.
