1、东北三省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校2021届高三数学四模试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|log2x1，集合B，则AB（）A（，2）B（，2C（0，2）D0，+）2若2+i（2i）（a+bi）（a，bR），其中i为虚数单位，则lg（2a+b）（）A0Blg2CD43已知双曲线1（m0）的一条渐近线方程为yx，则m的值为（）A4B3C2D14根据第七次全因人口普在结果，居住在城镇的人口为90199万人，占63.9%，与2010年相比，城镇人口比重上升14.2个百分点随着我回新型工业化、信息化和农业现代化的深入发展和农业转移人口市民
2、化政策落实落地，10年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性成就如图是历次人口普查城乡人口比重，第5个数据有污损调查发现人口普查次数x和城镇人口比重y（单位：%）存在着较强的线性相关关系建立了y关于x的线性回归方程8.21x0.17，那么污损的数据约为（）A40.9B37.8C36.2D35.55设ab1c0，给出下列四个结论：；bacabc；（1c）a（1c）b；logb（a+c）loga（b+c）其中正确结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个6已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件7执行如图所示的
3、程序框图，则输出s的值为（）A5B12C27D588函数f（x）2cosx（x，）的图象大致为（）ABCD9设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）log2（x+1）+ax2a+1（a为常数），则不等式f（3x+5）2的解集为（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）10将函数ysin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（）AxBxCxDx11抛物线C：x24y，过P（3，1）作抛物线的两条切线，分别切抛物线C于A、B两点，则线段AB中点M与y轴的距离为（）A1B2C3D412设函数yf（x）和yf（x），若两函数
4、在区间m，n上的单调性相同，则把区问m，n叫做yf（x）的“稳定区间”已知区间1，2021为函数y|（）x+a|的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（）A2，1B，2C2，D1，2二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题纸相应位置上。13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b 14已知，则sin2 15二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，则展开式中项的系数是 16设，为单位向量，满足|2|，+，3+，设，的夹角为，则cos2的最小值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60
5、分.17已知数列an的前n项和为Sn，满足a11，Sn+12Sn+1（）求数列an的通项公式；（）设bn（2log2an+1）an，求bn前n项和Tn18青年大学习是共青团中央组织的青年学习行动，共青团中央用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全团、教育青年，把深入学习宣传贯彻党的十九大精神作为首要政治任务和核心业务，在全刊部署实施“青年大学习”行动某区为调查学生学习情况，对全区高中进行抽样调查，调查在最近一周的周得分情况如图茎叶图是抽查的A校和B校各30人得到的这周得分情况：根据成绩分为如表等级：成绩（单位：分）120，130）130，150）150，170）170，184等级不合格合格良好
6、优秀（）根据鉴叶图判断A校和B校中的哪个学校完成学习的效果更好，并说明理由（不要求计算）；（）现要从A校被抽查的成绩等级合格和不合格的8名同学中任选4人进行座谈，记其中所含不合格人数X，求X的分布列和期望；（）若将所统计的这60人的频率作为慨率，在全区的商中学生中任意抽取4人参加知识竞赛，记其中所含成绩优秀人数Y求Y的分布列、期望和方差19如图，已知三棱锥PABC中，ABC是边长为1的等边三角形，PBPC2，点E为PC的中点，EA1（）求证：平面PAB平面ABC；（）求二面角PABE的余弦值20已知圆O：x2+y25，椭圆：1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆和
7、圆所截得弦长分别为1和2（）求椭圆的标准方程；（）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A，B两点（）若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；（）作PQAB于点Q，求证：|QF1|+|QF2|是定值21已知f（x）ex（）求关于x的丽数g（x）f（x）4f（x）5x的单调区间；（）已知ab，证明：（ea+eb+4e）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分。选修4-4：坐标系与参效方程22以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方
8、程为sin（），曲线C2的极坐标方程为（1cos）1（）写出C1和C2的直角坐标方程；（）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时Q的直角坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|xa|（）当a1时，求不等式f（x）3的解集；（）若f（x）1，求a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|log2x1，集合B，则AB（）A（，2）B（，2C（0，2）D0，+）解：Ax|0x2，By|y0；AB0，+）故选：D2若2+i（2i）（a+bi）（a，bR），其中i为虚数单位，则lg（2a+b）（）A0Blg2CD4解：2+i（2i）（
9、a+bi）（a，bR），即 2+i2a+b+（2ba）i，2a+b2，lg（2a+b）lg2，故选：B3已知双曲线1（m0）的一条渐近线方程为yx，则m的值为（）A4B3C2D1解：双曲线1（m0）的一条渐近线方程为yx，所以，解得m4故选：A4根据第七次全因人口普在结果，居住在城镇的人口为90199万人，占63.9%，与2010年相比，城镇人口比重上升14.2个百分点随着我回新型工业化、信息化和农业现代化的深入发展和农业转移人口市民化政策落实落地，10年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性成就如图是历次人口普查城乡人口比重，第5个数据有污损调查发现人口普查次数x和城镇人口比重
10、y（单位：%）存在着较强的线性相关关系建立了y关于x的线性回归方程8.21x0.17，那么污损的数据约为（）A40.9B37.8C36.2D35.5解：设污损的数据为b，由题意可知，故样本中心为（4，），则y关于x的线性回归方程8.21x0.17经过样本中心（4，），所以8.2140.17，解得b36.1936.2，则污损的数据约为36.2故选：C5设ab1c0，给出下列四个结论：；bacabc；（1c）a（1c）b；logb（a+c）loga（b+c）其中正确结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个解：由于ab1c0，所以：对于：acbc，故，故错误；对于：由于ab1，所以acbc，且ab
11、，所以aacbbc；故错误；对于由于01c1，所以（1c）a（1c）b；故正确；对于：由于ab1c0，所以a+cb+c1，所以logb（a+c）logb（a+c）loga（b+c），故正确故选：B6已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件解：若，直线l平面，直线l，m，lm成立若lm，当m时，则l与的位置关系不确定，无法得到“”是“lm”的充分不必要条件故选：A7执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A5B12C27D58解：模拟执行程序，可得k1，s1满足条件k30，执行循环体，s2，k3满足条件k30，执行循环体
12、，s5，k7满足条件k30，执行循环体，s12，k15满足条件k30，执行循环体，s27，k31此时，不满足条件k30，退出循环，输出s的值为27故选：C8函数f（x）2cosx（x，）的图象大致为（）ABCD解：f（x）2cos（x）2cosxf（x），f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，把x代入得f（）210.5，故图象过点（，0.5），C选项适合，故选：C9设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）log2（x+1）+ax2a+1（a为常数），则不等式f（3x+5）2的解集为（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）解：f（x）为定义在R上的奇函数，因为当x0
13、时，f（x）log2（x+1）+ax2a+1，所以f（0）1a0，故a1，f（x）log2（x+1）+x2在0，+）上单调递增，根据奇函数的性质可知f（x）在R上单调递增，因为f（1）2，所以f（1）f（1）2，由不等式f（3x+5）2f（1）可得，3x+51，解可得，x2，故解集为（2，+）故选：D10将函数ysin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（）AxBxCxDx解：将函数ysin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数ysin（2x+）的图象；再向右平移个单位，可得函数ysin（2x）的图象令2xk+，
14、求得x+，kZ，再令k1，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为x，故选：A11抛物线C：x24y，过P（3，1）作抛物线的两条切线，分别切抛物线C于A、B两点，则线段AB中点M与y轴的距离为（）A1B2C3D4解：设 ，故直线 AP 的方程为 ，又因为 P（3，1）在直线 AP 上，所以 ，即 ，同理有 ，所以 A，B 两点都在直线 上，即直线 AB 的方程为 ，联立 ，由韦达定理可得 x1+x26，因为 M 是线段 AB 的中点，所以 M 点的横坐标为 ，于是线段 AB 中点 M 与 y 轴的距离为3故选：C12设函数yf（x）和yf（x），若两函数在区间m，n上的单调性相同，则把区问m，n
15、叫做yf（x）的“稳定区间”已知区间1，2021为函数y|（）x+a|的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（）A2，1B，2C2，D1，2解：yf（x）|（）x+a|，f（x）|2x+a|，因为f（x）与f（x）在区间1，2021单调性相同，当a0时，f（x）（）x+a在1，2021单调递减，f（x）2x+a在1，2021单调递增，不符合题意；当a0时，f（x）|（）x+a|，f（x）|2x+a|，又f（x）在（，log2（a）上单调递减，在（log2（a），+）上单调递增，f（x）在（，log2（a）上单调递减，在（log2（a），+）上单调递增，所以log2（a）1且log2（a）1，解得
16、2故选：C二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题纸相应位置上。13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b解：由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+，由正弦定理可得b故答案为：14已知，则sin2解：tan（+）2 即tan+122tan，tan则sin22sincos故答案为：15二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，则展开式中项的系数是解：二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，n16通项为：Tr+1（）16r（）r（）16r（2）rx
17、由163r1得：r5，则展开式中项的系数是：（）11（2）5故答案为：16设，为单位向量，满足|2|，+，3+，设，的夹角为，则cos2的最小值为 解：因为，为单位向量，|2|，所以44+12，所以，因为+，3+，的夹角为，所以cos2（1）（1），故cos2的最小值为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17已知数列an的前n项和为Sn，满足a11，Sn+12Sn+1（）求数列an的通项公式；（）设bn（2log2an+1）an，求bn前n项和Tn解：（）因为a11，Sn+12Sn+1，当n2时，Sn2Sn1+1，相减可得an+12a
18、n，又S22S1+1，即a1+a22a1+1，所以a22a1，可得数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以an2n1；（）bn（2log2an+1）an（2n1）2n1，Tn11+32+522+.+（2n1）2n1，2Tn12+322+523+.+（2n1）2n，上面两式相减可得Tn1+2（2+22+.+2n1）（2n1）2n1+2（2n1）2n，化简可得Tn3+（2n3）2n18青年大学习是共青团中央组织的青年学习行动，共青团中央用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全团、教育青年，把深入学习宣传贯彻党的十九大精神作为首要政治任务和核心业务，在全刊部署实施“青年大学习”行动某区为调查学生
19、学习情况，对全区高中进行抽样调查，调查在最近一周的周得分情况如图茎叶图是抽查的A校和B校各30人得到的这周得分情况：根据成绩分为如表等级：成绩（单位：分）120，130）130，150）150，170）170，184等级不合格合格良好优秀（）根据鉴叶图判断A校和B校中的哪个学校完成学习的效果更好，并说明理由（不要求计算）；（）现要从A校被抽查的成绩等级合格和不合格的8名同学中任选4人进行座谈，记其中所含不合格人数X，求X的分布列和期望；（）若将所统计的这60人的频率作为慨率，在全区的商中学生中任意抽取4人参加知识竞赛，记其中所含成绩优秀人数Y求Y的分布列、期望和方差解：（）根据茎叶图可知，A校
20、样本得分中位数为160分，B校样本得分中位数为169分，因此B校完成学习的效果更好；根据茎叶图可知，A校样本约有73%的同学的分数在150分以上，B校样本有76%的同学的分数在160分数段上，因此B校完成学习的效果更好；根据茎叶图可知，A校样本在150，160，170分数段上分布较均匀，B校样本在170分左右的人数更多且更集中，因此B校完成学习的效果更好（）X的可能取值为0，1，2，所以P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为：X0 1 2 P 则E（X）0+1+21；（）所统计的这60人中获得优秀的有24人，频率为，将其作为概率，由题意可知，YB（4，），Y的可能取值为0，1，2
21、，3，4，所以P（Y0），P（Y1），P（Y2），P（Y3），P（Y4），所以Y的分布列为：Y 01 23 4 P 故E（Y）np4，D（Y）np（1p）4（1）19如图，已知三棱锥PABC中，ABC是边长为1的等边三角形，PBPC2，点E为PC的中点，EA1（）求证：平面PAB平面ABC；（）求二面角PABE的余弦值解：（）证明：PC2，点E为PC的中点，PEEC1，ACEA1，AEC是等边三角形，ECA60，PA，PC2PA2+AC2，PAAC，由题意知PABPAC，PAB90，PAAB，ABACA，AB，AC平面ABC，PA平面ABC，PA平面PAB，平面PAB平面ABC（）由（）知，P
22、A平面ABC，以A为坐标原点，过点A且垂直于BC的直线为x轴，过点A且与BC平行的直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（），C（，0），P（0，0，），E（），设（0，0，），（，0），（），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a1，得（1，1），cos二面角PABE的余弦值为20已知圆O：x2+y25，椭圆：1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2（）求椭圆的标准方程；（）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A，B两点
23、（）若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；（）作PQAB于点Q，求证：|QF1|+|QF2|是定值解：（）由题意可得，解得a2，b1，c，所以椭圆的方程为+y21（）（）设P（x0，y0），切线yy0k（xx0），则x02+y025，由，化简得（1+4k2）x2+8k（y0kx0）x+4（y0kx0）240，由0得（4x02）k2+2x0y0k+1y020，设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k21，又直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（）当切线PA，PB的斜率都存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），切线PA，PB的方程为yyiki（xxi），i1，2，由得（4xi2）
24、k2+2xiyiki+1yi20，i1，2，（*）又A，B点在椭圆上得，+yi21，i1，2，（*）得（2yiki+）20，即ki，i1，2，切线PA，PB的方程为+yiy1，i1，2，又过点P，则+yiy01，i1，2，所直线AB的方程为+y0y1，由PQAB的直线PQ的方程为yy0（xx0），联立直线AB方程为+y0y1，解得xQx0，yQy0，由x02+y025得点Q轨迹方程为x2+5y21，且焦点恰为F1，F2，故|QF1|+|QF2|2，当切线PA，PB的斜率有一个不存在时，易得|QF1|+|QF2|综上，|QF1|+|QF2|21已知f（x）ex（）求关于x的丽数g（x）f（x）4
25、f（x）5x的单调区间；（）已知ab，证明：（ea+eb+4e）解：（）g（x）ex4ex5x，g（x）ex+4ex5ex（ex1）（ex4），g（x）0xln4或x0，g（x）的增区间为（，0），（ln4，+）；g（x）0x0xln4，g（x）的减区间为（0，ln4）；证明：（）法一：（ea+eb+4e）（ab）（+4），令t0，只要证3（etet）t（et+et+4），设h（x）x（ex+ex+4）3（exex），定义域为0，+），h（x）（x2）ex（x+2）ex+4，h（x）（x1）ex+（x+1）ex，h（x）xexxexx（exex）0，h（x）在0，+）递增，h（x）h（0）0，
26、h（x）在0，+）递增，h（x）h（0）0，h（x）在0，+）递增，h（t）h（0）0，（ea+eb+4e）法二：令t，只需证lnt，令h（x）lnx（x0），h（x）0，h（x）在0，+）递增，h（t）h（1）0，（ea+eb+4e）法三：令t，只需证lnt，先证x1，lnx，令h（x）lnx（x1），h（x）0，h（x）在1，+）递增，h（x）h（1）0，lnt2ln，而4（t2+4t+1）3（t+1）（t3+1）20（ea+eb+4e）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分
27、10分。选修4-4：坐标系与参效方程22以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为sin（），曲线C2的极坐标方程为（1cos）1（）写出C1和C2的直角坐标方程；（）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时Q的直角坐标解：（）曲线C1的极坐标方程为sin（），根据转换为直角坐标方程为：xy+20曲线C2的极坐标方程为（1cos）1，根据转换为直角坐标方程为y22x+1（）设点P（），则点P到直线C1的距离d当t1时，即P（0，1）时，选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|xa|（）当a1时，求不等式f（x）3的解集；（）若f（x）1，求a的取值范围解：（）当a1时，f（x）|x2|x1|，当x2时，f（x）x2（x1）1，f（x）3无解，当1x2时，f（x）2x（x1）2x+3，f（x）3，无解；当x1时，f（x）2x（1x）1，f（x）3无解，所以不等式f（x）3的解集为（）若f（x）1，f（x）|x2|xa|（x2）（xa）|a2|，当xa时，f（x）max|a2|，所以|a2|1，解得1a3，即a的取值范围是1，3
