1、高三数学试卷理科一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据补集以及并集概念直接求解.【详解】因为，所以，因为，所以故选：A【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选C.3. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解方程，易判断“”与“”的真假，进而根据充要条件的定义，得到
2、答案.【详解】解：当时，不能得出，故是的不充分条件；当时，此时一定成立，故是的必要条件.当时，“”是“”的必要不充分条件.故选：.【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，分别判断“”与“”的真假是关键，属基础题.4. 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案【详解】观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求故选B【点睛】本题主要考
3、查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）5. 已知x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）A. 8B. 6C. 3D. 3【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点时，直线的截距最小，从而得到答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得， ，则，当直线过点时，z取到最小值，所以的最小值是，故选B【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.6. 设为等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简得到，代入公
4、式计算得到答案.【详解】，故，.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列求和，确定是解题的关键.7. 非零向量满足且,的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，求得，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值【详解】由得， 又由得， 将代入式，整理得：，即又因为，即故选.【点睛】本题考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题8. 如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 向左平移个长度单位，再把所得各
5、点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知，又，又，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.9. 已知，则大小顺序为（ ）A. B. C
6、. D. 【答案】D【解析】分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可判断大小.【详解】，.故选：D10. 易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，易经的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响下图就是易经中记载的几何图形八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解.【详解】由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶
7、角为，设三角形的腰为，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面积为：，所以每块八卦田的面积约为：.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.11. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导可得，则在上有变号零点，令，利用二次函数的性质可求得的取值范围【详解】，设，函数在区间上有极值，上有变号零点，即在上有解，令，由可得，即，得到，解得： 故选：12. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. （3,5D.
8、 （1,5【答案】C【解析】【分析】求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，则，函数，又由对任意，都有，则，即周期为2，又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，又由，则满足且，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理
9、与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 定义在上的函数，则_.【答案】1【解析】【分析】由题意得，把代入求值即可.【详解】函数，所以.故答案为：1【点睛】本题考查了分段函数的函数值，注意定义域的范围，属于基础题.14. 已知，都是锐角，则_【答案】【解析】【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值【详解】解：，都是锐角，又，则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解
10、本题的关键，同时注意角度的范围15. 已知向量，若，则_.【答案】12【解析】【分析】先求出的坐标，再根据，即可求得值.【详解】，解得，故答案：12.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.若向量与向量垂直，则.16. 已知正数满足，则的最小值为_.【答案】25【解析】正数满足，有，即.当且仅当，即时的最小值为25.答案为：25.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的
11、各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 等差数列中，求数列的通项公式；若，分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式【答案】；【解析】【分析】在等差数列中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案【详解】在等差数列中，由，得，；在等比数列中，有，公比，则【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，求出基本量是关键，是基础的计算题18. 已知.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（
12、1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角三角恒等变换先将函数化简为，即可求出最小正周期；（2）令，即可求出单调递增区间.【详解】（1）解：，.（2）解：令，解得，的单调递增区间为，.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是能正确利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式将函数化简为正弦型函数.19. 的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若a+c=，cosA=，simC=.（1）求sinB；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式即可求解.（2）利用正弦定理可得，从而可求出，再利用
13、三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）在中，由，知：.所以， （2）由正弦定理可知：，即，因此.由，由正弦定理得，所以的面积为.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形的面积公式，属于基础题.20. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为.（1）求a，b的值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值：，最小值：.【解析】【分析】（1）根据题意可得解集为，利用韦达定理即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.【详解】解：（1）由的解集为，则.（2）由（1）问可知，则x2大于零等于零小于零单调递增极
14、大值单调递减则，由，则.【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.21. 已知数列的前和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，讨论，当时，两式相减可得，即可得数列是等差数列，进而求得通项公式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减即可求和.【详解】（1），.当时，得.当时，即，.数列是等差数列，且首项为，公差为2，.（2）由（1）可知，-得，化简得:.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个
15、常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.22. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）见解析；（2
16、）.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域与导数，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）令，由题意可得对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，对任意的恒成立，此时，函数的单调递增区间为；当时，令，可得.当时，；当时，.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）设，则，则函数在区间上单调递增，当时，所以，函数在区间上单调递增，则.当时，即当时，对任意的恒成立，所以，函数在区间上单调递增，当时，合乎题意；当时，即当时，由于函数在区间上单调递增，且，由零点存在定理可知，存在，使得，当时，；当时，.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
