1、第三章 导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1设yx2ex，则y_.解析y2xexx2ex(2xx2)ex.答案(2xx2)ex2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案13曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_解析ycos xex，故切线斜率为k2，切线方程为y2x1，即2xy10.答案2xy104(2017苏州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为_解析yln x的定义域为(0，
2、)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.答案5若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析因为y2ax，所以y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，解得a.答案6(2017南师附中月考)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.解析由图形可知：f(3)1，f(3)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)
3、3f(3)110.答案07(2017苏北四市模拟)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a_.解析y，由条件知1，a1.答案18(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析yln x2的切线为：yxln x11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线为：yxln(x21)(设切点横坐标为x2)解得x1，x2，bln x111ln 2.答案1ln 2二、解答题9已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)211，所以当x
4、2时，y1，y，所以斜率最小的切线过点，斜率k1，所以切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，所以tan 1，所以.10已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2
5、016山东卷改编)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数：ysin x；yln x；yex；yx3.其中具有T性质的是_(填序号)解析若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于：ycos x，若有cos x1cos x21，则当x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于：y，若有1，即x1x21，x10，x20，不存在x1，x2，使得x1x21；对于：yex，若有ex1ex21，即ex1x21.显然不存在这样的x1，x2；对于：y
6、3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.答案12(2017合肥模拟改编)点P是曲线x2yln x0上的任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析点P是曲线yx2ln x上任意一点，当过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小，直线yx2的斜率为1，令yx2ln x，得y2x1，解得x1或x(舍去)，故曲线yx2ln x上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线yx2的距离等于，点P到直线yx2的最小距离为.答案13若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)x2axln x，f(x
7、)xa(x0)f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号)答案2，)14已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有f(x)1，g(x).曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a，所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)所以y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，所以y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线.
