1、第三章 导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1设yx2ex,则y_.解析y2xexx2ex(2xx2)ex.答案(2xx2)ex2已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)_.解析由f(x)2xf(1)ln x,得f(x)2f(1),f(1)2f(1)1,则f(1)1.答案13曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_解析ycos xex,故切线斜率为k2,切线方程为y2x1,即2xy10.答案2xy104(2017苏州调研)已知曲线yln x的切线过原点,则此切线的斜率为_解析yln x的定义域为(0,
2、),且y,设切点为(x0,ln x0),则y|xx0,切线方程为yln x0(xx0),因为切线过点(0,0),所以ln x01,解得x0e,故此切线的斜率为.答案5若曲线yax2ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a_.解析因为y2ax,所以y|x12a1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴,故其斜率为0,故2a10,解得a.答案6(2017南师附中月考)如图,yf(x)是可导函数,直线l:ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,令g(x)xf(x),其中g(x)是g(x)的导函数,则g(3)_.解析由图形可知:f(3)1,f(3),g(x)f(x)xf(x),g(3)f(3)
3、3f(3)110.答案07(2017苏北四市模拟)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行,则实数a_.解析y,由条件知1,a1.答案18(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线,也是曲线yln(x1)的切线,则b_.解析yln x2的切线为:yxln x11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线为:yxln(x21)(设切点横坐标为x2)解得x1,x2,bln x111ln 2.答案1ln 2二、解答题9已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)211,所以当x
4、2时,y1,y,所以斜率最小的切线过点,斜率k1,所以切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1,所以tan 1,所以.10已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10,且点P0在第三象限(1)求P0的坐标;(2)若直线ll1,且l也过切点P0,求直线l的方程解(1)由yx3x2,得y3x21,由已知令3x214,解之得x1.当x1时,y0;当x1时,y4.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为(1,4)(2)直线ll1,l1的斜率为4,直线l的斜率为.l过切点P0,点P0的坐标为(1,4),直线l的方程为y4(x1),即x4y170.能力提升题组(建议用时:20分钟)11(2
5、016山东卷改编)若函数yf(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称yf(x)具有T性质,下列函数:ysin x;yln x;yex;yx3.其中具有T性质的是_(填序号)解析若yf(x)的图象上存在两点(x1,f(x1),(x2,f(x2),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f(x1)f(x2)1.对于:ycos x,若有cos x1cos x21,则当x12k,x22k(kZ)时,结论成立;对于:y,若有1,即x1x21,x10,x20,不存在x1,x2,使得x1x21;对于:yex,若有ex1ex21,即ex1x21.显然不存在这样的x1,x2;对于:y
6、3x2,若有3x3x1,即9xx1,显然不存在这样的x1,x2.答案12(2017合肥模拟改编)点P是曲线x2yln x0上的任意一点,则点P到直线yx2的最小距离为_解析点P是曲线yx2ln x上任意一点,当过点P的切线和直线yx2平行时,点P到直线yx2的距离最小,直线yx2的斜率为1,令yx2ln x,得y2x1,解得x1或x(舍去),故曲线yx2ln x上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线yx2的距离等于,点P到直线yx2的最小距离为.答案13若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_解析f(x)x2axln x,f(x
7、)xa(x0)f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,即xa0有解,ax2(当且仅当x1时取等号)答案2,)14已知函数f(x)x,g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有f(x)1,g(x).曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3,曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a,所以f(1)g(1),即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)所以y13(x1),即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1),所以y63(x1),即切线方程为3xy90,所以,两条切线不是同一条直线.