1、(建议用时：50 分钟)1.(2015江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin4 40，求圆 C的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 222 sin 22 cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos4 a，且点A 在直线 l 上.(1)求 a
2、 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos，ysin(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.解(1)由点 A2，4 在直线 cos4 a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆 C 的圆心为(1，0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 12 22 1，所以直线 l 与圆 C 相交.3.(2013新课标全国卷)已知曲线 C1 的参数方程为x45cos t，y55sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
3、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin.(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0，02).解(1)C1 的参数方程为x45cos t，y55sin t，5cos tx4，5sin ty5.(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25，即 C1 的直角坐标方程为(x4)2(y5)225，把 xcos，ysin 代入(x4)2(y5)225，化简得：28cos 10sin 160.(2)C2 的直角坐标方程为 x2y22y，解方程组（x4）2（y5）225，x2y22y，得x1，y1，或x0，y2.C1 与 C2 交点的直
4、角坐标为(1，1)，(0，2).C1 与 C2 交点的极坐标为2，4，2，2.4.在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24.(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.解(1)圆 C1 的极坐标方程为 2，圆 C2 的极坐标方程为 4cos.解2，4cos，得 2，3，故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，3，2，3.注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一 由xcos，ysin，得圆 C1 与 C2 交点的直角
5、坐标分别为(1，3)，(1，3).故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为x1，yt，3t 3.或参数方程写成x1，yy，3y 3法二 将 x1 代入xcos，ysin，得 cos 1，从而 1cos.于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为x1，ytan，3 3.5.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x2cos，y22sin(为参数).M 是 C1上的动点，P 点满足OP 2 OM，P 点的轨迹为曲线 C2.(1)求 C2 的方程；(2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求
6、AB.解(1)设 P(x，y)，则由条件知 Mx2，y2.由于 M 点在 C1 上，所以x22cos，y222sin，即x4cos，y44sin.从而 C2 的参数方程为x4cos，y44sin.(为参数)(2)曲线 C1 的极坐标方程为 4sin，曲线 C2 的极坐标方程为 8sin.射线 3 与 C1 的交点 A 的极径为14sin 3，射线 3 与 C2 的交点 B 的极径为 28sin 3.所以 AB|21|2 3.6.(2015湖南卷)已知直线 l：x5 32 t，y 312t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1
7、)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|MB|的值.解(1)2cos 等价于 22cos.将 2x2y2，cos x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x0.(2)将x5 32 t，y 312t代入式，得 t25 3t180.设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.7.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1，直线 C2 的极坐标方程分别为 4sin，cos4 2 2.(1)求 C1 与
8、C2 交点的极坐标；(2)设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为xt3a，yb2t31(tR 为参数)，求 a，b 的值.解(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2(y2)24，直线 C2 的直角坐标方程为 xy40.解x2（y2）24，xy40，得x10，y14，x22，y22.所以 C1 与 C2 交点的极坐标为4，2，2 2，4，注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3).故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy20，由参数方程可得 yb2xab2 1，所以b21，ab2 12
9、，解得 a1，b2.8.已知曲线 C1 的参数方程是x2cos，y3sin(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为2，3.(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2 的取值范围.解(1)由已知可得 A2cos 3，2sin 3，B2cos3 2，2sin3 2，C2cos3 ，2sin3 ，D2cos3 32，2sin3 32，即 A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1).(2)设 P(2cos，3sin)，令 S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则 S16cos236sin2163220sin2.因为 0sin21，所以 S 的取值范围是32，52.
