1、课时作业(六十五)1如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90),在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为()A.B.C. D1答案D解析S扇形R2,S222,S阴影S扇形S2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P1.2在集合(x,y)|0x5,0y4内任取一个元素,能使不等式10成立的概率为()A. B.C. D.答案A解析集合(x,y)|0x5,0y4在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x0,x5,y0,y4所围成的长为5、宽为4的矩形,而不等式10和集合(x,y)|0x5,0y4表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形,由几何概型公式可以求得概率为.3(2
2、011青岛模拟)如下图,在一个长为,宽为2的矩形OABC内,曲线ysinx(0x)与x轴围成的如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能 ),则所投的点落在阴影部分的概率是()A. B.C. D.答案A解析S矩形OABC2,S阴影sinxdx2,由几何概型概率公式得P.4已知函数f(x)x2bxc,其中0b4,0c4,记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知,事件A所对应的线性约束条件为,其对应的可行域如图中阴影部分所示,所以事件A的概率P(A),选C.5在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1
3、中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析正方体的体积为:2228,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为:r313,则点P到点O的距离小于或等于1的概率为:,故点P到点O的距离大于1的概率为:1.6(2012海淀区)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A. B.C. D.答案C解析记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80290389210)90,乙的五次综合测评的平均成绩是(80
4、3902237x9)(442x)令90(442x),由此解得x8,即x的可能取值是07,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为,选C.7.(2012合肥质检)扇形AOB的半径为1,圆心角为90.点C、D、E将弧AB等分成四份连接OC,OD,OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰为的概率是()A. B.C. D.答案A解析依题意得知,图中共有10个不同的扇形,分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB,其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为的扇形)共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD),因此所求的概率等于,选A.8已知平面区域D(x,y)|1
5、x1,1y1,在区域D内任取一点,则取到的点位于直线ykx(kR)下方的概率为_答案解析注意到平面区域D是关于原点对称的区域,直线ykx过原点,因此在区域D内任取一点,则取到的点位于直线ykx下方的概率为.9函数f(x)x2x2,x5,5,那么任取一点x0使f(x0)0的概率为_答案0.3解析如图,在5,5上函数的图像与x轴交于两点(1,0),(2,0),而x01,2,那么f(x0)0.所以P0.3.10已知实数a满足3aP2 BP1P2CP1P2 DP1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R,则1a240,得a2或a2.故P1.若f(x)的定义域为R,则2a240,得2a2故P2.
6、P1P2.11甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,则0x24,0y4或yx2或yx4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域P(B).12(2011衡水调研)已知关于x的一元二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,
7、求函数yf(x)在区间1,)上是增函数的概率;(2)设点(a,b)是区域内随机点,求函数yf(x)在区间1,)上是增函数的概率解析(1)函数f(x)ax24bx1的图像的对称轴为x要使f(x)ax24bx1在区间1,)上为增函数,当且仅当a0且1,即2ba.若a1,则b1,若a2,则b1,1,若a3,则b1,1,事件包含基本事件的个数是1225.所求事件的概率为.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时,函数f(x)ax24bx1在区间1,)上为增函数,依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 (a,b)|构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为(,)所求事件的概率为P.13(2012广东深圳
8、)已知复数zxyi(x,yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4,3,2,0,Q0,1,2,从集合P中随机抽取一个数作为x,从集合Q中随机抽取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率;(2)设x0,3,y0,4,求点M落在不等式组:所表示的平面区域内的概率解析(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个:4,4i,42i,3,3i,32i,2,2i,.22i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个:i,2i,所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域(x,y)|内,属于几何概型该平面区域的图形为右
9、图中矩形OABC围成的区域,面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x,y)|,其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0,),三角形OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.1平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A. B.C. D.答案B解析如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为P.2(2012沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆,则此圆面积小于9的概率
10、是()A. B.C. D.答案B解析如图,此问题属几何概型,球的直径为10,用一平面截该球面,所得的圆面积大于等于9的概率为P(A).所截得圆的面积小于9的概率为P()1.3已知菱形ABCD的边长为2,A30,则该菱形内的点到菱形的顶点A,B的距离均不小于1的概率是_答案1解析如图所示,只有当点位于图中的空白区域时,其到A,B的距离才均不小于1,菱形的面积为22sin302,两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆,其面积为,故空白区域的面积为2,所求的概率是1.4在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离小于等于a的概率为_答案解析满足条件的点在半径
11、为a的球内,所以所求概率为P.1.(2012深圳市第一次调研)如图,圆O:x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是()A. B.C. D.答案B解析依题意得,区域M的面积等于2sinxdx2cosx4,圆O的面积等于23,因此点A落在区域M内的概率是,选B.2已知实数a,b满足1a1,1b1,则函数yx3ax2bx5有极值的概率为()A. B.C. D.答案C解析yx22axb,当方程x22axb0有两个不同实根,即a2b时,函数yx3ax2bx5有极值点,如图,阴影部分面积为2a2da2a3,所以函数yx3ax
12、2bx5有极值的概率为,故选C.3在区间0,1上任意取两个实数a,b,则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为()A. B.C. D.答案A解析由已知得当a0时,f(x)x2a0,函数f(x)在1,1内是增函数,因此由f(x)在1,1上有且仅有一个零点得,即.在坐标平面aOb中,分别画出不等式组与不等式组表示的平面区域,结合图形易知,这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12(1),而不等式组表示的平面区域的面积为121,因此所求的概率等于,选A.4在区间0,3上任取一个数x,使得不等式x23x20成立的概率为_答案解析x23x20x2或xn时,椭圆离心率e,由
13、e,得m2n.同理,当m2m.故满足条件的m,n为图中阴影部分所求概率P.8在区间0,2内任取两个数a,b,那么函数f(x)x2axb2无零点的概率为_答案解析依题意,方程x2axb20无零点,则有a24b20,即(a2b)(a2b)0.在平面直角坐标系aOb内画出不等式组与表示的平面区域,注意到不等式组表示的平面区域的面积是4,不等式组表示的平面区域的面积是22213,因此所求的概率为.9(2011深圳模拟)利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b,则方程x2a有实根的概率为_答案解析方程x2a即x22axab0若方程有实根,则有4a24ab0,即ba,其所求概率可转化为几何概率,如图,其概率等于阴影面积与正方形面积之比P.10将长为l的棒随机折成3段,求3段构成的三角形的概率解析设A“3段构成三角形”x,y分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为lxy.则试验的全部结果可构成集合(x,y)|0xl,0yl,0xylxyxy,xlxyyyxx,y,x由图可知,所求概率为P(A).高考资源网w w 高 考 资源 网