1、课时作业(六十五)1如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.B.C. D1答案D解析S扇形R2，S222，S阴影S扇形S2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P1.2在集合(x，y)|0x5,0y4内任取一个元素，能使不等式10成立的概率为()A. B.C. D.答案A解析集合(x，y)|0x5,0y4在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x0，x5，y0，y4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式10和集合(x，y)|0x5,0y4表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为.3(2
2、011青岛模拟)如下图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线ysinx(0x)与x轴围成的如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能 )，则所投的点落在阴影部分的概率是()A. B.C. D.答案A解析S矩形OABC2，S阴影sinxdx2，由几何概型概率公式得P.4已知函数f(x)x2bxc，其中0b4,0c4，记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知，事件A所对应的线性约束条件为，其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以事件A的概率P(A)，选C.5在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1
3、中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析正方体的体积为：2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：r313，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：，故点P到点O的距离大于1的概率为：1.6(2012海淀区)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A. B.C. D.答案C解析记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80290389210)90，乙的五次综合测评的平均成绩是(80
4、3902237x9)(442x)令90(442x)，由此解得x8，即x的可能取值是07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为，选C.7.(2012合肥质检)扇形AOB的半径为1，圆心角为90.点C、D、E将弧AB等分成四份连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是()A. B.C. D.答案A解析依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为的扇形)共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于，选A.8已知平面区域D(x，y)|1
5、x1，1y1，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线ykx(kR)下方的概率为_答案解析注意到平面区域D是关于原点对称的区域，直线ykx过原点，因此在区域D内任取一点，则取到的点位于直线ykx下方的概率为.9函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x0使f(x0)0的概率为_答案0.3解析如图，在5,5上函数的图像与x轴交于两点(1,0)，(2,0)，而x01,2，那么f(x0)0.所以P0.3.10已知实数a满足3aP2 BP1P2CP1P2 DP1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R，则1a240，得a2或a2.故P1.若f(x)的定义域为R，则2a240，得2a2故P2.
6、P1P2.11甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0x24,0y4或yx2或yx4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B).12(2011衡水调研)已知关于x的一元二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，
7、求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内随机点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解析(1)函数f(x)ax24bx1的图像的对称轴为x要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.若a1，则b1，若a2，则b1,1，若a3，则b1,1，事件包含基本事件的个数是1225.所求事件的概率为.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 (a，b)|构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为(，)所求事件的概率为P.13(2012广东深圳
8、)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率解析(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，.22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)|内，属于几何概型该平面区域的图形为右
9、图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x，y)|，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，三角形OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.1平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A. B.C. D.答案B解析如图所示，这是长度型几何概型问题，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为P.2(2012沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9的概率
10、是()A. B.C. D.答案B解析如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9的概率为P(A).所截得圆的面积小于9的概率为P()1.3已知菱形ABCD的边长为2，A30，则该菱形内的点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是_答案1解析如图所示，只有当点位于图中的空白区域时，其到A，B的距离才均不小于1，菱形的面积为22sin302，两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆，其面积为，故空白区域的面积为2，所求的概率是1.4在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为_答案解析满足条件的点在半径
11、为a的球内，所以所求概率为P.1.(2012深圳市第一次调研)如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. B.C. D.答案B解析依题意得，区域M的面积等于2sinxdx2cosx4，圆O的面积等于23，因此点A落在区域M内的概率是，选B.2已知实数a，b满足1a1，1b1，则函数yx3ax2bx5有极值的概率为()A. B.C. D.答案C解析yx22axb，当方程x22axb0有两个不同实根，即a2b时，函数yx3ax2bx5有极值点，如图，阴影部分面积为2a2da2a3，所以函数yx3ax
12、2bx5有极值的概率为，故选C.3在区间0,1上任意取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为()A. B.C. D.答案A解析由已知得当a0时，f(x)x2a0，函数f(x)在1,1内是增函数，因此由f(x)在1,1上有且仅有一个零点得，即.在坐标平面aOb中，分别画出不等式组与不等式组表示的平面区域，结合图形易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12(1)，而不等式组表示的平面区域的面积为121，因此所求的概率等于，选A.4在区间0,3上任取一个数x，使得不等式x23x20成立的概率为_答案解析x23x20x2或xn时，椭圆离心率e，由
13、e，得m2n.同理，当m2m.故满足条件的m，n为图中阴影部分所求概率P.8在区间0,2内任取两个数a，b，那么函数f(x)x2axb2无零点的概率为_答案解析依题意，方程x2axb20无零点，则有a24b20，即(a2b)(a2b)0.在平面直角坐标系aOb内画出不等式组与表示的平面区域，注意到不等式组表示的平面区域的面积是4，不等式组表示的平面区域的面积是22213，因此所求的概率为.9(2011深圳模拟)利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x2a有实根的概率为_答案解析方程x2a即x22axab0若方程有实根，则有4a24ab0，即ba，其所求概率可转化为几何概率，如图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比P.10将长为l的棒随机折成3段，求3段构成的三角形的概率解析设A“3段构成三角形”x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为lxy.则试验的全部结果可构成集合(x，y)|0xl,0yl,0xylxyxy，xlxyyyxx，y，x由图可知，所求概率为P(A).高考资源网w w 高 考 资源 网